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第三章 导数与微分 本章教学要求 1.理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题. 2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式. 3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法. 4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法. 5.了解可导、可微、连续之间的关系. 重点:导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法. 难点:求复合函数和隐函数的导数的方法. 第一节 导数的概念 一、引例 为了说明微分学的基本概念——导数，我们先讨论两个问题：速度问题和切线问题。 1、直线运动的速度 设某点沿直线运动，运动完全由位置函数函数所确定。非匀速运动的动点从位置移动到,求在时刻t0的速度应如何理解,又如何求得呢？ 最简单的匀速运动情形， （1） 如果运动不是匀速的，那末在运动的不同时间间隔内，比值(1)会有不同的值。 这样，把比值(1)笼统地称为该点的速度就不合适了，而需要按不同时刻来考虑。 首先去从时刻t0到t这样一个时间间隔，在这段时间内，动点从位置移动到。这时由(1)式算得比值 （2） 可认为是动点在上述时间间隔内的平均速度。如果时间间隔选得较短，这个比值(2)在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度。但对于动点在时刻t0的速度的精确概念来说，这样做是不够的。，而更确切地应当这样：令，取(2)式的极限，如果这个极限存在，设为v，即 （3） 这时就把这个极限值称为动点在时刻t0的瞬时速度。 2、切线问题 (1)切线的定义： 设由曲线C及C上的一点M，在点M外另取C上一点N，做割线MN。当点N沿曲线 C趋于点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT，直线MT就称为 曲线C在点M处的切线。 这里极限位置的含义是：只要弦长趋于零，也趋于零。 现在就曲线C为函数的图形的情形来讨论切线问题。设是曲线C上的一点，则。根据上述定义要定出曲线C在点M处的切线，只要定出切线的斜率就行了。为此，在点M外另取上的一点，于是割线MN的斜率为 （4） 其中为割线MN的倾角。当点N沿曲线C趋于点M时，。如果当 时，上式的极限存在，设为k，即 （5） 存在，则此极限k是割线斜率的极限，也就是切线的斜率。 这里，其中是切线MT的倾角。于是，通过点且以k为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线。事实上，由以及时，可见时，(这时)，。因此直线MT确为曲线C在点M处的切线。 二、导数的定义 在自然科学和工程技术领域内，还有许多概念，例如电流强度、角速度、线密度等等，都可归结为形如(3)、（5）式的数学形式。我们撇开这些量的具体意义，抓住他们在数量关系上的共性，就得出函数的导数概念。 1、导数的定义 定义1 (导数) 设函数在点的某个领域内有定义，当自变量在处取得增量时(点仍在该领域内)，相应地函数y取得增量，如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即 （6） 也可记作 或 注解: :①函数在点处可导时，在点具有导数或导数存在。(6)不存在，在点处不可导。②导数的定义式也可取不同的形式，常见的有 （7） 和 （8） 式(7)中h的即自变量的增量 ③、若时，，在处是不可导的。，处的导数为无穷大。：。在开区间I内的每一点都可导，就称函数在开区间I内可导。这时，对于任一，都对应着的一个确定的导数值。这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数的导函数， （9） 记作或。 例1 求在处的导数. 解:由导数的定义知 注解: ① 在(6)式或(7)式中把换成，即得导函数的定义式 或 ②在以上两式中，虽然可以取区间I内的任何数值，但在极限过程中，是常量，或是变量。 ③函数在点处的导数就是导数在点处的函数值，即 导函数简称导数， 例2 求的导函数(导数). 解:由导数的定义知 2、左、右导数 根据函数在点处的导数的定义， 是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此存在即在点处可导的充分必要条件是左、右极限 及 都存在且相等。这两个极限分别称为函数在点处的左导数和