常微分学习笔记.docVIP

· 常微分方程习题答案 2.1 1.,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： 3 解：原式可化为： 12． 解 15． 16． 解： ，这是齐次方程，令 17. 解：原方程化为 令 方程组 则有 令 当当 另外 19. 已知f(x). 解：设f(x)=y, 则原方程化为 两边求导得 20.求具有性质 x(t+s)=的函数x(t),已知x’(0)存在。 解：令t=s=0 x(0)== 若x(0)0 得x=-1矛盾。 所以x(0)=0. x’(t)=) 两边积分得arctg x(t)=x’(0)t+c 所以x(t)=tg[x’(0)t+c] 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以 x(t)=tg[x’(0)t] 习题2.2 求下列方程的解 1．= 解： y=e (e) =e[-e()+c] =c e- ()是原方程的解。 2．+3x=e 解：原方程可化为：=-3x+e 所以：x=e (e e) =e (e+c) =c e+e 是原方程的解。 3．=-s+ 解：s=e(e ) =e() = e() = 是原方程的解。 4． ， n为常数. 解：原方程可化为： 是原方程的解. 5．+= 解：原方程可化为：=- () = 是原方程的解. 6． 解： =+ 令 则 =u 因此：= （*） 将带入 （*）中 得：是原方程的解. 13 这是n=-1时的伯努利方程。 两边同除以， 令 P(x)= Q(x)=-1 由一阶线性方程的求解公式 = 14 两边同乘以 令 这是n=2时的伯努利方程。 两边同除以 令 P（x）= Q(x)= 由一阶线性方程的求解公式 = = 15 这是n=3时的伯努利方程。 两边同除以 令 = P(y)=-2y Q(y)= 由一阶线性方程的求解公式 = = 16 y=+ P(x)=1 Q(x)= 由一阶线性方程的求解公式 = = c=1 y= 设函数(t)于∞t∞上连续，(0)存在且满足关系式(t+s)=(t)(s) 试求此函数。 令t=s=0 得(0+0)=(0)(0) 即(0)= 故或 （1） 当时 即 ∞,∞) (2) 当时 = == = 于是 变量分离得 积分 由于，即t=0时 1=c=1 故 20.试证： （1）一阶非齐线性方程（2 .28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解； （2）若是（2.3）的非零解，而是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为，其中为任意常数. （3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解. 证明： （2.28） （2.3） 设，是（2.28）的任意两个解 则 （1） （2） （1）-（2）得 即是满足方程（2.3） 所以，命题成立。 由题意得： （3） （4） 1）先证是（2.28）的一个解。 于是 得 故是（2.28）的一个解。 2）现证方程（4）的任一解都可写成的形式 设是(2.28)的一个解 则 （4’） 于是 （4’）-（4）得 从而 即 所以，命题成立。 设，是（2.3）的任意两个解 则 （5） （6） 于是（5）得 即 其中为任意常数 也就是满足方程（2.3） （5）（6）得 即 也就是满足方程（2.3） 所以命题成立。 21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方； 曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项； 解：设为曲