导数专题72477学习笔记.docVIP

课 题 导数专题一 教学目标 1．导数的概念及几何意义； 2．求导的基本方法；3．导数的应用. 重点、难点 导数的综合运用；过特殊点求函数的切线 考点及考试要求 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计2013年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化。 教学内容 知识框架 1．导数的概念及几何意义. 2．求导的基本方法 ①定义法：= ②公式法：（c 为常数）; = (n∈N) ; = 3．导数的应用 ①求曲线切线的斜率及方程； ②研究函数的单调性、极值、最值； ③研究函数的图象形态、性状； ④导数在不等式、方程根的分布（个数）、解析几何等问题中的综合应用． 导数 一、深刻理解导数的概念，了解用定义求简单的导数 表示函数的平均改变量，它是Δx的函数，而f′(x0)表示一个数值，即f′(x)=，知道导数的等价形式 二、导数公式？ 运算法则？ 例 设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=_________ 三、导数与切线： y=f(x)上一点M（x0,y0）处的切线 （1）斜率k=f′(x0) (2) y0=f (x0) (3) M（x0,y0）在切线上 例 1P是抛物线上的点，若过点P的切线方程与直线垂直，则过P点处的切线方程是____________。 例2已知曲线C y=x3－3x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标 解 由l过原点，知k=(x0≠0),点(x0,y0)在曲线C上，y0=x03－3x02+2x0, ∴=x02－3x0+2 y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2 又k=,∴3x02－6x0+2=x02－3x0+2 2x02－3x0=0,∴x0=0或x0= 由x≠0,知x0= ∴y0=()3－3()2+2·=－ ∴k==－ ∴l方程y=－x 切点(，－) 四、导数与单调性、极值、最值 (1).k=0对应的区间为f(x)的单调增区间； （2）k=0对应的区间为f(x)的单调减区间； (3).k==0解得的x=x0可能是极值 例1已知函数的图象过点P（0，2），且在点 M（－1，f（－1））处的切线方程为。 （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）求函数的单调区间。 解：（Ⅰ）由的图象经过P（0，2），知d=2， 所以 由在处的切线方程是， 知 故所求的解析式是 （Ⅱ） 解得 当 当 故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数 例2已知f(x)=x2+c,且f［f(x)］=f(x2+1) (1)设g(x)=f［f(x)］,求g(x)的解析式； (2)设φ(x)=g(x)－λf(x),试问 是否存在实数λ,使φ(x)在(－∞,－1)内为减函数，且在(－1，0)内是增函数 解 (1)由题意得f［f(x)］=f(x2+c)=(x2+c)2+c f(x2+1)=(x2+1)2+c,∵f［f(x)］=f(x2+1) ∴(x2+c)2+c=(x2+1)2+c, ∴x2+c=x2+1,∴c=1 ∴f(x)=x2+1,g(x)=f［f(x)］=f(x2+1)=(x2+1)2+1 (2)φ(x)=g(x)－λf(x)=x4+(2－λ)x2+(2－λ) 若满足条件的λ存在，则φ′(x)=4x3+2(2－λ)x ∵函数φ(x)在(－∞,－1)上是减函数， ∴当x＜－1时，φ′(x)＜0 即4x3+2(2－λ)x＜0对于x∈(－∞,－1)恒成立 ∴2(2－λ)＞－4x2, ∵x＜－1,∴－4x2＜－4 ∴2(2－λ)≥－4,解得λ≤4 又函数φ(x)在(－1,0)上是增函数 ∴当－1＜x＜0时，φ′(x)＞0 即4x2+2(2－λ)x＞0对于x∈(－1,0)恒成立 ∴2(2－λ)＜－4x2, ∵－1＜x＜0,∴－4＜4x2＜0 ∴2(2－λ)≤－4,解得λ≥4故当 λ=4时，φ(x)在(－∞,－1)上是减函数，在(－1,0)上是增函数，即满足条件的λ存在 例3已知函数， （1）求曲线的平行于直线的切线方程； （2）若函数在上有最大值3，求常数的值及此此函数的最小值。 解（1）设所求切线的切点为，则其斜率为或当时切点为，切线方程为 当时切点为，切线方程为即 （2