第十五章导数与微分学习笔记.docVIP

第十五章　导数与微分 知识点： 教学目的要求： （1）理解导数的概念；熟记导数符号；理解导数的几何意义；了解函数可导与连续的关系。 （2）熟记导数的基本公式；掌握导数的四则运算求导法则；掌握复合函数的求导法则；掌握隐函数与对数法的求导方法；了解高阶导数的概念；掌握高阶导数的求导方法。 （3）理解微分的概念及其几何意义；熟记微分的基本公式与运算法则。 教学重点： 1．导数的概念 2．导数的几何意义 3．导数的基本公式 4．四则运算求导法则 5．复合函数求导法则 6．隐函数的求导法则 7．一阶微分的形式不变性 教学难点： 1．导数的概念 2．复合函数的求导法则 3．隐函数的求导法则 4．微分的形式不变性 第一节　导数的概念 【教学内容】两个引例；导数的定义；导数的几何意义；函数可导与连续的关系。 【教学目的】使学生理解导数的定义，掌握导数的几何意义，会求曲线的切线方程与法线方程，了解函数可导与连续的关系。 【教学重点】1．导数的定义；2．用导数的定义求函数在某点的导数；3．导数的几何意义。 【教学难点】1．导数的定义；2．函数可导与连续的关系。 【教学时数】2学时 【教学进程】 一、两个引例 引例1 自由落体运动的瞬时速度。 提问：1．自由落体运动的位移公式；2．自由落体运动的瞬时速度公式；3．自由落体运动的瞬时速度公式的推导过程（适当讨论）。 由学生回答可知自由落体运动的位移公式为，由于物体的位移是随时间连续变化的，因此在很短的时间间隔内（从到）内，速度变化不大，可以用平均速度作为时的瞬时速度的近似值，即 == 显然，越小，与越接近，当无限变小时，平均速度就无限接近时的瞬时速度．由此，令，如果平均速度的极限存在，就把它定义为物体在时刻的瞬时速度，即 == 总结规律：对于一般的变速直线运动的瞬时速度可由以下式子求得： 引例2 平面曲线的切线斜率 提问：1．什么叫做圆的切线？2．一般的平面曲线的切线怎么定义？（适当讨论） 定义 设点是曲线上的一个定点，在曲线上另取一点，作割线，当动点沿曲线向点移动时，割线绕点旋转，设其极限位置为，则直线称为曲线在点的切线．如右图所示． 设曲线的方程是，记点的横坐标为，点的横坐标为（可正可负），平行轴，设的倾角为，则的斜率为显然 当点沿曲线无限趋近于点时（这时，也趋近于的倾角，这时切线的斜率 综上两个引例的结论可知，虽然这两个问题所涉及到的背景知识不同，但是它们可以用相同的方法求得所需结果，由此引出导数的定义。 二、导数的定义 1．导数的定义。 定义 设函数在点的某邻域内有定义，当自变量在点处有增量（点仍在该邻域内）时，相应地函数有增量 如果极限存在，则称函数在点处可导，并称此极限值为函数在点处的导数．记作，也可记作， 或 ．即 == 这时就称函数在点的导数存在，或称函数在点可导；如果极限不存在，则称函数在点不可导。 2．由导数的定义求函数的导数。 设函数，求该函数在处的导数的步骤： 在处给定 求增量　 算比值 取极限　 例1 已知函数，求。 解 在处给定 （1）求增量 （2）算比值 （3）取极限 因此，=2 3．几点说明。 1）函数在点处的导数也称为函数在点处对自变量的变化率。 2）当极限与存在时，分别称它们为的左导数与右导数，记为与。且存在当且仅当与都存在且相等。（利用极限存在的充要条件理解） 3）函数在点处的导数，就是导函数在点处的函数值，即=。（通过例1中改变值的改变进行说明） 4）如果函数在，内每一点处可导，则称函数在区间，内可导．显然导数值也是的函数，我们称它为函数的导函数，今后在不会发生混淆的情况下，也简称导数．记作，，或，即 = 讨论：函数的导数是什么？（结论：） 思考：函数的导数是什么？（结论：） 拓展：函数的导数是什么？（结论：） 如，等。 5）如果函数在，内可导，且在点右导数存在，在点右导数存在，则称函数在闭区间，上可导。 三、导数的几何意义 由引例2的分析可知导数的几何意义为：函数在点的导数 表示曲线在点，的切线的斜率。因此有 当函数在点处可导时，曲线在点，的切线方程为 曲线在点，的法线方程为 如果在点连续且导数为无穷大，则曲线在点，的切线方程为；法线方程为 例2 求曲线在点(1，1)处的切线和法线方程。 解 因为，所以．于是曲线在点(1，1)处的切线方程为即 曲线在点(1，1)处的法线方程为即 四、可导与连续的关系 定理　如果函数在点处可导，则在点处必连续． 注：如果函数在点处连续，在点处未必可导。 *例3 证明函数||在点连续，但不可导。 证明　在处，||-||||，因此||=0 所以函数 ||在点连续。 又 而 因此 不存在，所以函数||在点不可导。 注：出现尖点不可导。