函数微分学学习笔记.docVIP

第二章 一元函数微分学 微分学的概念和其他数学概念一样，同样源于人类的实践．具体来讲，微分学的思想最初是由法国数学家费马（Fermat））表示质点从某一选定的时刻开始到时刻所走过的路程，那么是的函数，即，试求质点在任一时刻的瞬时速度． 当时间从时刻变到时，质点在这段时间间隔内经过的路程是，于是比值 就是质点在时刻到这段时间内的平均速度，记作，即 如果质点作匀速运动，那么瞬时速度等于质点的平均速度，但是，现在质点是在做变速直线运动，速度每时每刻都在变化，因此，瞬时速度不能简单地用平均速度来表示．然而当很小时，质点在时刻到这段时间内的平均速度变化不大，可以把质点的运动近似地看作是匀速的．这样，平均速度就可以作为质点在时刻瞬时速度的近似值，显然，愈小，就愈接近于，因此，在极限意义下可以得到 ， 即是质点在的瞬时速度． 2． 曲线的切线问题 例2　在平面几何里圆的切线可以定义为“与圆只有一个交点的直线”，但是，对于一般的曲线，就不能把“与曲线只有一个交点的直线”作为切线的定义．例如，对于抛物线，在坐标原点处，轴和轴都与曲线相交且只有交点，显然，轴是抛物线在点处的切线，而轴就不是它的切线． 对于一般曲线的切线应作怎样理解，又如何求得其切线呢？下面，我们将用极限的思想绐出曲线切线的定义． 设曲线及在上的一点为，在点外，另取上一点，作割线，当点沿线曲趋向于点时，割线的极限位置就称为曲线在点处的切线． 图2－1中曲线为函数的图形，点是曲线上的一点，，为曲线上另取的一点，设 ， 那么割线的斜率为： 其中为割线的倾角，当，即时， 点沿曲线趋向于点，从而得到切线的斜率． ，由此可见，曲线在点处纵坐标的增量与横坐标的增量之比，当时的极限即为曲线在点处的切线斜率． 二、导数的定义 定义 设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量从增加到（，仍在该邻域内）时，相应地，函数有改变量，如果极限 存在，则称函数在点处可导，并将此极限值称为函数在点处的导数，记作，，或，即 ， 如果极限不存在，则称函数在点处不可导． 函数在点处的导数也可表示为： ． 三、左、右导数 既然导数是比值当的极限，那么，下面两个极限 ， ， 分别叫做函数在点处的左导数和右导数，且分别记为和． 根据左、右极限的性质，我们有 定理 函数在点处可导的充分必要条件是在点的左、右导数存在且相等． 四、求导举例 下面根据导数的定义求一些简单函数的导数，一般包含以下三个步骤如下： （1）求函数的增量：； （2）求比值： ； （3）求极限：． 例3　求函数(为常数)的导数． 解 （１）， 　　（２）， 　　（３）． 即　　． 这就是说，常数的导数等于零． 例4　求函数的导数． 解 （１） ， （２）， （３）． 即　　． 同理可得：，，，（为常数）， 例5 求函数的导数． 解 ． 即　　　． 同理可得：． 例6 求的导数． 解　 ， 即 特别地， 例7 求的导数． 解　 ， ， 即　　　　． 特别地，． 如果函数在区间内每一点都可导，则称函数在区间内可导．对于区间内每一个确定的值，均对应着一个确定的导数值，这个新函数称为原函数的导函数，记为，或，，即，在不发生混淆的情况下，导函数也简称导数． 显然，函数在点的导数，就是导函数在点处的函数值，即． 五、导数的几何意义 根据例2的讨论及导数的定义可知，如果函数在点处可导，就是曲线在点处的切线的斜率，即 其中是曲线在点处切线的倾斜角，这就是导数的几何意义． 根据导数的几何意义，利用直线的点斜式方程，可得曲线在点处的切线方程为：， 如果，那么曲线在点处的法线方程为： ． 如果，那么曲线在点处的切线方程为：，相应地，法线方程为． 例8 求曲线在点）处的切线和法线方程． 解 因为， ， 所以，切线方程为 ，即 法线方程为 ，即 ． 六、函数的可导性与连续性的关系 我们知道，初等函数在其定义区间上都是连续的，那么函数的连续性与可导性之间有什么关系呢？下面我们来讨论这个问题． 设函数在点处可导，即存在，则由极限的运算法则，有 ， 这就说明函数在点处是连续的．所以，有如下结论： 定理 如果函数在点处可导，那么函数在处连续． 注：该定理的逆命题不成立，即函数在某点连续，但在该点不一定可导，也就是说连续是函数可导的必要条件． 例9 证明函数在处连续，但在点处不可导． 证明：， ， ， 　 ， 因此，函数 在处连续； 　　， ， ， 因此，函数 在处不可导． 习题2－1 1． 求下列函数的导数： （1）； （2）；　　　　　　　（３）；