第二章导数与微分学习笔记.docVIP

第二章 导数与微分 基本要求 1．深刻理解导数的概念，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，理解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解左、右导数的概念及函数可导的充要条件. 2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的求导公式，会求初等函 数和分段函数的导数. 3．会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，会求反函数的导数. 4．理解高阶导数的概念，了解莱布尼兹公式，会求简单函数的n阶导数. 5． 深刻理解微分的概念，理解导数与连续、微分的关系，了解函数微分的几何意义，了解微分的四则运算法则和一阶微分不变性. 6．会求函数的微分，了解微分在近似计算中的应用. 问题解析 1 .如何理解导数定义中比式的极限？ 导数定义可有多种不同的表达形式，例如 等. 导数是“比” 式的极限（不是极限的比）, 并且必是两个无穷小之比的极限, 是、或、或时的比式的极限；在求极限的过程中是不变的常量, 但是，极限过程之后得到的又是的函数，而与(或)无关, 故称为“导函数”. 再者，其中的极限变量（或）趋于零的方式不能有任何限制，必须是双边极限并通过一切中间量连续地趋于零. 例如： ， , 均得不到结论，前者只能说明函数在点的右导数存在，后者则是沿特定的子列趋于. 再如狄利克雷函数 对于任意，与同为有理数，或同为无理数，即 有，从而 , 但在内处处不连续，从而处处不可导. 另外, 导数定义中比式 的分子、分母中的极限变量必须以统一的形式出现. 比如，等式 的右端并不是，而是 ， 即. 2 。函数在一点单侧可导和在该点可导有何关系？如何讨论分段函数在分段点处的可导性？ ⑴ 函数的单侧导数的定义，就是把导数定义中的双侧极限改为单侧极限与. 函数在点的左、右导数都存在，不能保证函数在点可导，还需左、右导数相等. ⑵ ，不能保证函数在点可导，例如， 当时，， ； 当时，， . 但是由于在点不连续，故在点不可导. 在这里，点是函数的“可去间断点”. 如果将改为则在点可导，并且. ⑶ 分段函数在分段点两侧表达式一致时，即时，应直接用定义 判定的存在性，不必讨论其单侧导数. 当分段函数在分段点两侧定义表达式不一致时，即 就必须通过 判定在点的左导数和右导数的存在性以及相等性来判定的存在性. 3． 可导与连续有怎样的关系？ 可导必连续，但连续未必可导. 例如，函数 处处连续；时存在导数；在 点处不可导，因为不存在. 不能想当然地认为连续函数至少在某些点可导，因为存在处处连续而处处不可导的函数： ， 是一个由无穷级数(参见第十章无穷级数)定义的非初等 函数，由实变函数知识可以证明为连续函数，但处处不可微. 由此例也可体验到曾统治古典数学研究的直观方法是不可靠的. 4．在导数的几何意义中，如何理解函数在点可导和该函数曲线在点（）处切线之间关系？ 函数在点可导，则函数所表示的曲线在点处切线的斜率存在，于是必有切线. 应注意其否命题不成立， 即若函数在点不可导时，函数所表示的曲线在点处未必不存在切线. 例如曲线 ，因为 所以 在 不可导， 但曲线在点处有铅垂切线，切线斜率为. 5． 如何理解导数与微分的关系？ 导数与微分都是讨论(x与Δy的关系的，所以它们之间应有内在的联系，教材第二章第五节的定理1揭示了这种联系. 但是导数与微分是源于两个不同的实际背景：导数源于精确地计算函数的变化率，它把泛泛的平均变化率精确化到在一点的变化率，是变化率的数学抽象. 微分则是源于近似计算；实际应用中的一切计算几乎都需要用到近似计算的(这也表明了微分应用的广泛性)；微分表达式, 即表明只要知道在一点的函数值及其导数的值， 就可以用Δx的一次函数近似计算点附近的函数值, 误差是比高阶无穷小——这就可以把一个难以计算其值的函数(如超越函数), 局部近似地表达为便于计算数值的函数(一次函数). 遗憾的是，这里的近似度偏低（姑且称之为一次近似），并且是个难于控制范围的量，而不能估计误差的近似计算是不便于应用的； 因此，微分用于近似计算有待于进一步发展, 一方面，向着提高近似度方向发展，达到任意次近似的精确程度；另一方面，要提供出估计误差大小的方法. 导数与微分的运算具有双重关系：一方面表示可由计算导数来计算微分； 同时也表示可用微分之比