导数复习学习笔记.docVIP

第三章 导数 一．本章知识结构 二．学习内容与要求 （一）学习目标： （二）本章知识精要 （1）导数的概念 （2）常见函数的导数 （3）导数的运算 （4）函数的单调性 （5）函数的极值 （6）函数的最大值与最小值 三．学习方法与指导 （一）学习方法点拨 1．导数的概念： 2．曲线的切线 3．导数运算 4．函数的单调性 5．可导函数的极值 6．函数的最大值与最小值 （二）典型例题讲解 1．导数的概念 2．几种常见函数的导数 3．函数和、差、积、商的导数 4．复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数 5．函数的单调性和极值 6．函数的最大值和最小值 （三）能力培养与测试 参考答案 四．全国各地高考数学卷导数应用题型集锦一．本章知识结构 二．学习内容与要求 （一）学习目标： （1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。 x，函数y相应有增量y=f(x0+x)－存在，则此极限称为f(x)在点x=x0处的导数，记为f ’(x0)，或y’|； 2．导函数：如果函数yf(x)在区间(，b)内每一点都可导，就说yx)在区间(，b)内可导．即对于开区间(，b)内每一个确定的x0值，都相对应着一个确定的导数’(x0)，这样在开区间(，b)内构成一个新函数，把这一新函数叫做(x)在(，b)内的导函数．简称导数．记作f ’(x)或y’’(x)=y’==。 3．导数的几何意义：函数yx)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yx)在(x0，x0))处的切线的斜率，即曲线yf(x)在点P(x0，f(处的切线斜率为k＝f ’(x0)．函数 y＝f在点 P(x0，x0))处的切线方程为 y－y’(x0)·(x－x)．函数y)在点P(x0x0))处的法线方程为－＝－x－x)或x＝x’=0, (c为常数)；(xm)’=mx；(sinx)’=cosx； (cosx)’=－’=ex；(ax)’=ax·lna；(lnx)’=；(ligax)’=. （3）导数的运算： 1．函数的和或差的导 法则：两个函数的和或差的导数，等于两个函数的导数的和或差，即(u±)’＝u’’. 2．函数的积的导教 法则：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 ()’＝’v+v’u. 3．函数的商的导。 法则：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．即()’ (v≠0)。 4．复合函数的导 法则设函数u＝g(x)在点x处有导数’x＝g’()，函数f(u)在点x处的u处有导数’u=f ’(u)；则复合y=f[(x)]在点x处也有导数，且 y’x＝’u·u’x，也可简述为：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导以中变量对自变量的导数设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f ’( x)0时，则函数yf( x)为增函数如果’(x)0时，则函数＝f为减函数如果恒有f ’( x)＝0，则yf(x)为常函数设函数y=f(在x附近有定义，如果对x附近的所有点x都有f(x)＜x0)，则称f(x)是函数f(的一个极大值记作yf(x0)； 2．如果对附近的所有点x，都有f(x)＞f(称f(x)是函数f(x)的一个极小值，记作yf(x0)，极大值与极小值统称为极值① 对于在处连续的函数，如果在附近的左侧f ’(x)，右侧’(x)0，那么x0)是极大值 ② 如果在x附近的左侧’(x)0，右侧’(x)0，那么f(x)是极小值．最值是一个整体性概念，是指函数在给定区向(或定义域)内所有函数值中最大的值或最小的最大值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值记为，最值记为在闭区间，上连续函数f(x)在，上必有最大值与最小值．函数fx)在闭区间，b上最值法 ① 求出在(，b)内的极值 ② 将函数f(x)的极值与)，f比较，其中较大的一个是最大值，较小的一个是最小值 三．学习方法与指导 （一）学习方法点拨 1．导数的概念： 设f(x)在点x=x0 附近有定义，若极限存在，则称其为f(x)在点x=x0处的导数f ’(x0)．可以证明这一结论与教科书上的导数定义是等价的． 另外，若，且存在a的邻域（α，β），当x∈(α, x0)∪(x0, β)时，有g(x)≠0，则，又若，且存在a的邻域(α，β)，当x∈(α, x0)∪(x0, β)时，有g(x)≠x0，则. 设f(x)= 那么g(a)=h(a)=A，且 为f(x)在点x＝a处可导的充要条件，此时f ’(a)＝B． 由此可知，若分段函数f(x)的表达式中的g(x)、h(x)可分别看做含有a的区间(