上海交通大学流体力学第二章案例.ppt

* C2.2 一般概念 1. 欧拉运动方程 （无粘） 兰姆—葛罗米柯方程 （无粘) 2. 欧拉积分（无粘、无旋 正压、重力 、定常） 伯努利积分（无粘、无旋 不可压、重力、定常） 常数 (全流场） 常数 （全流场） C2.2 一般概念 C2.1 引言(工程背景) 3. 斯托克斯定理 （封闭曲线、涡束） 开尔文定理 （无粘、正压、有势力） （沿封闭流体线） C2.2 一般概念(2-2) [例C2.2.2] 有自由面的势涡：无旋流伯努利方程 已知: 涡量处处为零的涡旋运动称为势涡（参见C2.4.3），速度分布为 v=v0=C/r，C为常数，r为径向坐标。 求： 若势涡具有自由面（例如河中的水旋，见图）， 试确定自由面方程。 解： 势涡流场为无旋流场，伯努利方程在全流场成立，在任意高度的两点上流体微元的总能量 守恒。设自由面的水平边界渐近线为z=z 0，渐近线的无穷远点与自由面上的任意点有关系式 在水平边界上r0→∞，v0=c/r0→0；且在自由面上，ps=p0，由上式可得 将v=C/r代入上式可得自由面方程为旋转双曲线方程 C2.3 速度势与流函数 名称 : 势函数Φ(x,y) 条件: 无旋流 引入: 定义: 等值线: Φ=C (等势线) 性质: 等势线与速度垂直 流函数Ψ(x,y) 平面不可压缩 Ψ=C (流线）, 流线与等势线正交 C2.3 速度势与流函数 [例C2.3.2] 90°角域流的速度势和流函数(2-1) 已知: 90°角域流的速度分布式为：u=kx,v=－ky（k为常数）。 求：（1）判断该流场是否存在速度势，若存在请确定其形式并画等势线图； （2）判断该流场是否存在流函数。若存在请确定其形式并画流线图； 解：（1）先计算速度旋度 上式中C为常数。速度势函数为 说明流场是无旋的，存在速度势φ(x, y)，由（C2.3.2）式 (a) 等势线方程为x2－y2=常数，在xy平面上是分别以第一、三象限角平分线和第二、四象限角平分线为渐近线的双曲线族，如上图中的虚线所示。 （2）再计算速度散度 说明该流场是不可压缩平面流动，存在流函数Ψ(x,y)，由（C2.3.11）式 上式中C为常数，流函数为 流线方程为xy=常数，在 xy平面上是分别以 x, y轴为渐近线的双曲线族，如上图中的实线所示。x, y轴也是流线，称其为零流线。流线族与等势线族正交。 (b) [例C2.3.2] 90°角域流的速度势和流函数(2-2) 平面势流 平面流 存在速度势Φ 无旋流 不可压缩 存在流函数Ψ C2.4 平面势流与基本解 挑选一些基本解φi(ψi)，叠加后若满足边界条件即是所求之解。 C2.4 平面势流与基本解 C2.4.1 均流 物理背景 全流场以等速( U )做平行直线流动 速度分布 势函数 流函数 C2.4.1 均流 C2.4.2 点源与点汇 物理背景 当源汇位于A点 当源汇位于原点O 点源（Q 0）：流体从一点均匀地流向各方向; 点汇（Q 0）：流体从各方向均匀地流入一点。 C2.4.2 点源与点汇 C2.4.3 点涡 物理背景 与平面垂直的直涡线（强度为Γ）诱导的流场。 当点涡位于A点 当点涡位于原点O C2.4.3 点涡 C2.4.4 偶极子 当偶极子位于原点 等势线Φ=C 流线 Ψ=C 物理背景 点源点汇无限接近(δ→0)形成的流场。 （偶极矩M = Qδ= 常数，源→汇） C2.4.4 偶极子 [例C2.4.4] 兰金半体绕流：均流+点源(2-1) 已知: 位于原点的强度为Q（Q＞0）的点源与沿x方向速度为U的均流叠 加成一平面流场。 求： （1）流函数与速度势函数；（2）速度分布式；（3）流线方程； （4）画出物面流线及部分流线图。 解：（1）流函数与速度势函数的极坐标形式分别为 （2）速度分布式为 （3）流线方程为 C 取不同值代表不同流线。其中通过駐点的流线的一部分为该流场绕流 物体的轮廓线，即物面流线。 (a) (d) (c) (b) (e) 通过驻点A（-b,0）的右半部分物面流线由A点的流函数值决定 （4）物面流线的左半支是负x轴的一部分（θ=π），驻点A（-b,0）由 下式决定 流线方程为 物面流线及部分流线如右上图所示，右半部分所围区域称为兰金(Rankin