华科生数值函数逼近1介绍.ppt

例 试分别用二次和三次多项式以最小二乘拟合表中的数据， 并比较优劣。 解： ?0(x) = 1， ?1(x) = x， ?2(x) = x2 It is soooo simple! What can possibly go wrong? 例：用 来拟合 ， §5 Discrete L-S approximating 7623 ) ( 4 63 || || 484, || || 1 = = ? - ? = B cond B B ? 利用法方程 解：设二次拟合函数为 1.6 0.9 0.4 0.1 -0.1 2 1 0 -1 -2 其中 §5 Discrete L-S approximating * 第三章 函数逼近 /* Approximation Theory */ 一致逼近 平方逼近 /* minimax Approximation */ 太复杂? ? ? /* Least_Squares Approximation */ 逼近误差的度量常用标准有： 设在区间(a, b)上非负函数 ，满足条件： 定义 称为函数 与 在[a, b]上的内积。 1） 存在(n=0,1,…)， 2）对非负的连续函数 ，若 。 则在(a, b)上 , 就称为区间(a, b)上的权函数。 设 是[a, b]上的权函数，积分 定义 满足内积定义的函数空间称为内积空间。因此，连续函数空间 上定义了内积就形成一个内积空间。 1） 2） 为常数 3） 4） ，当且仅当 时 四条公理： ，量 称为 的欧氏范数。 定义 则 其内积 定义是 向量 的模（范数）定义为 将它推 广到任何内积空间中就有下面定义。 §1 内积空间 /* Inner product space */ 平行四边形定律可直接计算得 证毕。 对任何 ，下列结论成立 定理 此式称为柯西—许瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式 （1） （2） （三角不等式） （3） （平行四边形定律） 利用（1）考虑 两边开方则得（2）. §1 Inner product space 现取 ，代入上式得 即 两边开平方即得(1). 证明 若 ，则柯西—许瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式显然成立，现考虑 ，对任何实数 ，有 则称f与g在[a, b]上带权 正交，若函数族 就称 是[a, b]上带权 的正交函数族；若 ，就称之为标准正交函数族。 若 ，满足 定义 满足关系 而对 时 就是在区间 上的正交函数族，因为 例如 三角函数族 在 空间中任一向量都可用它的一组 线性无关的基表示，对内积空间的任一元素 也同样可用线性无关的基表示，此时相应地有…. 在n维空间中两个向量正交的定义也可推广到内积空间。 §1 Inner product space 　　　线性无关/* linearly independent */函数族{ ?0(x), ?1(x), … , ?n(x), … } 满足条件：其中任意函数的线性组合 对任意 x?[a, b]成立 当且仅当 时成立，则称在[a, b]上是线性无关的，若函数族 中的任何有限个 线性无关，则称{ }为线性无关函数族。 定义 例如： 就是[a, b]上线性无关函数族， 若 是 中的线性无关函数，且 是任意实数，则 的全体是 中的一个子集，记作 §1 Inner product space 在[a, b]上线性无关的充要条件是它的克莱姆（Cramer）行列式 ，其中 定理 判断函数族{ } 线性无关的充要条件 证（反证法） 则齐次线性方程