2013-2014-北邮概率论研究生概率论-答案.doc

北京邮电大学2013——2014学年第1学期 《概率论与随机过程试题》期末考试试题答案 考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 填空题：（每空3分，共30分） 给定集合，则定义在上的包含的最小(-代数是 . 若是(上的两个非空集合类，是上的测度，若满足：（1） ;（2），则称是在上的扩张。 某集代数包含了所有的左开右闭区间（实数集上的）. 该集代数上有一个测度，对于任意可测集，其中，均有.将该测度扩张到某(-代数上记为.对单点集， . 0 设概率测度空间，，，两个简单函数，，则 ， . 设为定义某概率空间上的随机变量，若的分布函数为，则数学期望的L-S积分形式为 . 设三维随机变量服从正态分布，其中，，则= 1 设随机过程为平稳二阶矩过程，且均方连续.设该过程的均值函数为，相关函数，均方积分记为随机变量. 则 . 设为泊松过程,则条件概率 . 9. 设为参数为的维纳过程,,则= . 二.（8分）设A是系，证明A是单调类；若A也是系，证明A是(-代数。 证明：由A是系，若A，n=1，2，…，且，则A. 若，A，n=1，2，…，由A是系，A且，则A. 所以A.即 A，所以A是单调类。 4分 A是系，A对余集运算封闭且A，若A也是系， A对交集运算封闭，所以A是集代数。因为A是单调类，所以A是(-代数。 4分 三.（16分）设随机向量的概率密度为 求边缘密度； 求时条件密度； 求. 解（1），. 4分 （2）当时，=. 4分 （3）由（2）知 ，所以. ，所以. = . 8分 四. （14分）设随机变量的分布列为 （1） 求随机变量的特征函数; （2）求. 解 （1） . ……8分 （2）易知 ，所以 . ……6分 五. （14分）设随机过程，其中是两个独立同分布的随机变量. （1）若都以2/3和1/3的概率取值-1和2，证明为平稳过程; （2）若都服从标准正态分布，证明为高斯过程. （1）证明　， ， 所以，均值函数为常数，自相关函数只依赖于时间差，为平稳随机过程。7分 （2）对于任意正整数，取任意时间点任意实数 ，因为相互独立且服从正态分布，的线性组合仍然服从正态分布，所以 服从一维正态分布。故为高斯过程。7分 七. （18分）设马氏链的状态空间为，转移概率矩阵为 (1)确定该链的状态分类；(2)各状态的周期；(3)求平稳分布； (4) 求, . 解. （1）链可分, {3}{2,6}是不可分闭集, 状态空间,3,2,6正返态,1,4,5为非常返. 6分 （2） 周期. 3分 （3） 设平稳分布为,则 解之得,其中. 5分 （4） . . 4分 2