14年高考真题——理科数学(天津卷).doc

2014年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理） 一选择题（本大题共小题，每小题5分，共0分。在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．是虚数单位，复数 ( ) （A） （B） （C） （D） 2．设变量满足约束条件则目标函数的最小值为( ) 3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的的值为( ) （A）15 （B）105 （C）245 （D）945 4．函数的单调递增区间是( ) （B） （C） （D） 5．已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（ ） （A） （B） （C） （D） 6．如图，是圆的内接三角形，的平分线交圆于点，交于点，过点的圆的切线与的延长线交于点。在上述条件下，给出下列四个结论：①平分；②；③；④( ) （A）①② （B）③④ （C）①②③ （D）①②④ 7．设，则|“”是“”的( ) （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 8．已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，。若，，则 ( ) （A） （B） （C） （D） 二填空题本大题共小题，每小题5分，共分 9．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查。已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取_______名学生。 10．已知一个），则该几何体的体积为___________。 11．设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和。若成等比数列，则的值为_________。 12．在所对的边分别是。已知，，则的值为___________。 13．在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点。若是等边三角形，则的值为_________。 14．已知函数，。若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为______。 三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）已知函数， ⑴求的最小正周期⑵求在上的最大值和最小值 16．（本题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学。在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院。现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）。⑴求⑵设为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望 17．（本小题满分13分）如图，在四中，底面，，，，点为棱的中点。⑴证明；⑵求与平面所成角的正弦值；⑶若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值。 18．（本小题满分13分）设椭圆的的左焦点为，，上顶点为。已知。⑴求椭圆的⑵设为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切，求直线的斜率。 19．（本小题满分14分）已知和均为给定的大于的自然数设集合，集合⑴当，时，用列举法表示集合⑵设，，，其中，则。 20．本小题满分14分已知函数。已知函数有两个零点，且。⑴求⑵证明随着的减小而增大；⑶证明：随着的减小而增大。 2014年普通高校招生全国统考卷解答 DCC 二．9．60；10．；11．；12．；13．3；14．。 15．解：⑴由题 ，故的最小正周期； ⑵因在是减函数，在是增函数，且，，，故的最小值为，最大值为。所以，函数在闭区间上的最大值为，最小值为。 16．解：⑴设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件，则。所以，选出的3名同学来自互不相同学院的概率为； 0 1 2 3 ⑵的所有可能取值为，。所以，随机变量的分布列如右表所示，其数学期望 。 17．解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，由题，，，。由为棱的中点，得。⑴向量，，故。所以； ⑵，。设为平面的法向量，则即。取，得。于是，所以直线与平面所成角的正弦值为； ⑶，，，。由点在棱上，设，则。由，得，因此，，解得。即。设为平面的法向量，则即。取，可得。取平面的法向量，则。易知，二面角是锐角，所以其余弦值为。 18．解：⑴设椭圆的右焦点，由，可得，又，则，故椭圆的离心率； ⑵由⑴知，，故椭圆方程为。设，由，，有，。由已知，有，即。又，故有。又因为点在椭圆上，故 。因此可得。而点不是椭圆的顶点，故，从而得，即。设圆的圆心为，则，，进而圆的半径。