第5章刚体的定轴转动概要.ppt

讨论：影响刚体转动惯量的因素 m1 m2 y 列方程求解： 对物体m1: 对物体m2: 对滑轮m3: 其它关联方程： 4个未知数T1，T2，a1(=a2), a, 4个方程 联立求解可得： 例4、一静止刚体受到一不变力矩M0（N.m)的作用,同时引起一阻力矩M1， M1与刚体转动的角速度成正比,即|M1|=k? (k为常数)。又已知刚体对转轴的转动惯量为J,试求刚体角速度的变化规律。 M+ M0 M1 J 求：?（t）=？ 解： 1）以刚体为研究对象； 2）分析受力矩 3）建立轴的正方向； 4）列方程： M+ M0 M1 J 已知： M0 M1= –k? J ?|t=0=0 求出a 即可求出w 分离变量 两端积分 §5.4 刚体的角动量和角动量守恒 刚体是一种物质殊的质点系，它绕定轴转动，当然应该具有角动量。 回顾 角动量： 做匀速圆周运动的质点对其圆心的角动量大小为： 角动量定理： 角动量守恒定律： 力矩： 一、刚体的角动量及其沿定轴的分量 刚体可看作质点系, 角动量等于各质元角动量矢量和 以角速度?绕OZ轴旋转的均匀细棒, 将棒分割成许多质元。 O Z ?mi ? 任一△mi 对O点的角动量为： ? 故棒的总角动量 的大小为： 由O到质元△mi的距离 ?mi ?mj O Z ? 方向如图，可见角动量不一定与Z轴方向相同。 棒的总角动量 的大小为： 我们感兴趣的是研究定轴转动,即要研究角动量在Z轴的分量 质元△mi到转轴的距离 作定轴转动的刚体对转轴的角动量等于刚体对同一转轴的转动惯量与角速度的乘积。 二、刚体对定轴的角动量定理 根据刚体定轴转动定律： 刚体所受的对转轴的合外力矩等于刚体对转轴角动量的变化率。 注意 比 更具遍性。 例如，当物体的转动惯量不是常量时， 不再适用，而 仍有效。 三、刚体对定轴的角动量守恒 在定轴转动中，如果刚体所受外力对转轴的合力矩为零时，刚体对同一转轴的角动量不随时间变化。 即： ——刚体对定转轴的角动量守恒定律 实例： 定轴转动角动量守恒1 定轴转动角动量守恒2 例1、一根长l，质量为M的均匀直棒，其一端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。今有一子弹，质量为m，以水平速度v0 射入棒的下端而不复出。求棒和子弹开始一起运动时的角速度。 分析：棒是刚体，不能用质点水平动量守恒来计算，要用角动量计算。 从子弹进入棒到二者开始一起运动所经过的时间极短，在这一过程中棒的位置基本不变，仍保持竖直。因此，在子弹冲入过程中，系统所受的外力（重力和轴的支持力）对轴O的力矩都为零，系统对轴O的角动量守恒。 O m 解：以v 和w 分别表示子弹和棒一起开始运动时，棒端点的速度和角速度。以垂直纸面向外为Z 轴（转轴O）正向。 根据角动量守恒： 初态系统角动量为： 子弹对O轴的角动量，棒角动量为零。 解得： 末态系统角动量为： 棒对O轴的角动量 O m x R O M m 例2、一个质量为M，半径为R的水平均匀圆盘可绕通过中心的光滑竖直轴自由转动。在盘缘上站着一个质量为m 的人，二者最初都相对地面静止。当人在盘上沿盘边走一周时，盘对地面转过的角度多大？ 分析：对盘和人组成的系统，人在走动时系统所受的对竖直轴的外力矩为零（摩擦力是内力），系统对此轴的角动量守恒。可利用角动量守恒定律求解。 解：初态系统角动量为零。 以 j 和 J 分别表示人和盘对转轴的转动惯量，以 w 和 W 分别表示任一时刻人和盘的角速度。根据角动量守恒，任一时刻系统角动量为： 以q和Q分别表示人和盘对地面发生的角位移，则有： 人可视为质点，对轴的转动惯量为： 盘对轴的转动惯量为： ... ... ⑴ 将这些量代入⑴式可得： 两边同乘dt并积分 例3、如图所示的宇宙飞船对于其中心轴的转动惯量为J=5×103 kg·m2，正以w=0.1 rad/s的角速度绕中心轴旋转。宇航员想用两个切向的控制喷管使飞船停止旋转。每个喷管的位置与轴线距离都是r=1.5m，两喷管的喷气流量恒定，共是q=2 kg/s。废气的喷射速率(相对飞船周边) u=50 kg/s，并且恒定。问喷管应喷射多长时间才能使飞船停止旋转。 -u -u Lg L0 w r -u -u Lg L0 w r 分析：废气是从飞船中喷射出来的，若以飞船和废气为系统，则系统外力(引力)对其中心轴的力矩为零,系统角动量守恒。 飞船绕中心轴转动,角动量L0=Jw。喷出废气后,废气具一定角动量。因系统L守恒，L废气↑则L飞船↓，当L飞船全部转化为L废气时，飞船停止转动。 废气角动量如何实现增加呢？ -u -u Lg L0 w r 在喷气过程中，以dm表示dt时间内喷出的气体，这些气体对中心的角动量为： 废气的速度u的方向为飞船周边切线方向上，故r⊥v。 dm的废气产生的角动量为： 飞船周边速率，v=wr