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三视图与立体几何证明和计算 湖北省巴东县第二高级中学 陈安全 利用空间几何体的结构特征与三视图,进行空间几何中的线面角、两异面直线的夹角或二面角的计算、几何体体积的计算,进行线面平行、垂直等证明,是学生的学习难处,学生有时不能很好地将两者之间的联系建立起来。现收集如下几例用于学生这类问题的训练。 1.一个多面体的直观图及三视图如图所示,其中 M , N 分别是 AF、BC 的中点, (1)求证: MN // 平面 CDEF ; (2)求二面角 A-CF-B 的余弦值; . 分析:(1)由三视图知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF,且AB=BC=BF=4,DE=CF=,∠CBF=90°,由此能证明MN∥平面CDEF.(2)(法一)作BQ⊥CF于Q,连结AQ,由已知得AB⊥面BCF,AB⊥CF,BQ⊥CF,∠AQB为所求的二面角的平面角,由此能求出二面角A-CF-B的余弦值. (2)(法二):以EA,AB,AD所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A-CF-B的余弦值. 解析: 解(1)证明:由三视图知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF,且AB=BC=BF=4,DE=CF=, ,连结BE, M在BE上,连结CE EM=BM,CN=BN, 所以∥,所以平面 (2)方法一:作BQ⊥CF于Q,连结AQ, 面BFC⊥面ABFE,面ABFE∩面BFC=BF, AB?面ABFE,AB⊥BF, ∴AB⊥面BCF, CF? 面BCF,∴AB⊥CF,BQ⊥CF,AB∩BQ =B,∴CF⊥面ABQ,AQ? 面ABQ,AQ⊥CF,∴∠AQB为所求的二面角的平面角,在Rt△ABQ中,tan∠AQB=, ∴cos∠AQB=, ∴二面角A-CF-B的余弦值为. (2)方法二:以EA,AB,AD所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系, 所以 面CBF法向量为 设面ACF法向量为, 取,所以 设二面角为, 2.一个多面体的直观图及三视图如图所示,其中 M ,N 分别是 AF、BC 的中点 (1)求证:MN∥平面CDEF; (2)求多面体A-CDEF的体积. 解析:解(1)证明:由三视图知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF,且AB=BC=BF=4,DE=CF=, ,连结BE,M在BE上,连结CE EM=BM,CN=BN,所以∥,所以平面 (2)取DE的中点H. ∵AD=AE,∴AH⊥DE, 在直三棱柱ADE-BCF中, 平面ADE⊥平面CDEF, 平面ADE∩平面CDEF=DE.∴AH⊥平面CDEF. ∴多面体A-CDEF是以AH为高,以矩形CDEF为底面的棱锥,在△ADE中,AH=. S矩形CDEF=DE?EF=, ∴棱锥A-CDEF的体积为. 3.已知几何体的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形. (1)求此几何体的体积的大小; (2)求异面直线DE与AB所成角的余弦值; (3)求二面角A-ED-B的正弦值. 解析:(1)AC⊥平面BCE, 则 ∴几何体的体积V=16. (2)取EC的中点是F,连结BF,则BF//DE,∴∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角. 在△BAF中,AB=,BF=AF=.∴. ∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为 (3)AC⊥平面BCE,过C作CG⊥DE交DE于G,连AG.可得DE⊥平面ACG, 从而AG⊥DE,∴∠AGC为二面角A-ED-B的平面角. 在△ACG中,∠ACG=90°,AC=4,CG=,∴.∴. ∴二面角A-ED-B的的正弦值为. 试卷第1页,总3页 试卷第1页,总3页

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