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思维混淆的归类浅析 朱红霖 （湖北省宜昌市第十八中学 443007） 一位资深数学教授曾在课余向他的学生们提出一个问题。他说，甲、乙两只足球队进行一场比赛，已知上半场总进球数为2，其中甲队进球数为1，下半场总进球数为3，其中甲队进球数也是1；就全场比赛来说，总进球数为5，其中，甲队进球数为2，由此，可以得到这样一个算式：。请你解释这是为什么？问题虽然很简单，可学生们对这个错误的算式又似乎有点合理一时琢磨不透。 在数学思维中，不同的思维方法、不同的思维角度、甚至不同的思维主体（学生或者老师）往往产生与上述类似的结果差异，而对这些结果差异产生的原因又往往一时难于理解。这类现象，在我们的探究学习过程中可以说屡见不鲜，究其原因，往往是思维者不知不觉陷入到形形色色的“短路”——即混淆之中。数学思维中的混淆大致分为数量关系混淆、概念关系混淆、逻辑关系混淆等类型。概念关系混淆多由思维者对概念理解缺乏准确而将错就错；数量关系混淆往往是思维者没有履顺各种隐含的数量关系导致思维混乱；逻辑关系混淆，又有很多类型，往往是由思维者对逻辑规则掌握不够造成混乱而产生错觉。无论哪一种混淆，都是由思维者的思维感知程度所造成，所以即使思维者明知我错了，却难于感知错在哪里。 1. 易混之一——数量关系“打架”。 数学离不开各种数量关系，从事数学思维活动往往从探究各种数量关系做起。俗话说：明枪易躲，暗箭难防。相当一部分思维者只习惯于被明摆着的数量关系所左右，却不善于发现或挖掘那些隐含的数量关系，出现了问题就不知所措。 案例1 题目：已知在中，向量，，设函数。若，求角的值。 下面我们给出最容易在学生或者老师中产生的两种解答过程及其答案。 解答1：== =。∵，即，∵，∴，∴，∴。 解答2：由已知得：==，∴。∵，∴。由得：，∴即。 分析：我们知道：在中，,则 。解法1是应用向量数量积的坐标运算，如果把看成自变量的一个取值，则是没有问题的；如果把作为，则，解法2同样也是正确的。表面上，过程都没有任何瑕疵，可是截然不同的运算结果实在是让人不能自圆其说。如果把移至坐标原点，由知，对于任意一个的定值，点应为单位圆上的一个定点，同样，由知，点也应为线段（）上的一个定点，从而也成为定值，由此看来，题目的题设已经明确了一个对应关系①,同时，题目的题设部分还给出了一个函数关系：=即另一个对应关系②，就解法1来说：由对应关系②得：，此时，,,即由关系①得：，由此得到互相矛盾的两个结果。问题虽然出现在题目的设计上，题设中两个数量关系时刻在相互矛盾，自然会得到相互矛盾的结果，这就是矛盾结果产生的原因。 2. 易混之二——概念彼此偷换。 在数学思维活动中，我们往往不知不觉地陷入偷换概念或者被概念的偷换带入混淆的旋窝，从而产生一些“离奇”的现象。 案例2 题目：PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米至75微克/立方米之间空气质量为二级；75微克/立方米以上空气质量为超标。 某试点城市环保局从该市市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据做样本，检测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）。 （1）从这15天的PM2.5日均检测数据中，随机抽出3天，求恰有1天空气质量达到一级的概率； （2）从这15天的数据中任取3天数据，记 表示抽到PM2.5日均检测数据超标的天数，求的分布列及期望 。 解法1：如果考虑每天空气质量各自的概率，由于每天各自的空气质量相互独立，解答如下： （1）从这15天中随机抽取一天，空气质量分别为一级、二级、超标，分别记为事件 ,由于这15天中，空气质量为一级、二级、超标的天数各为5天，因此，,,.从这15天的PM2.5日均检测数据中，随机抽出3天，恰有1天空气质量达到一级的概率。 （2）由题意，,对于某一天，空气质量超标的概率为，不超标的概率为，与（1）同理，, , , .的分布列 及期望分别为： 。 解法2：如果不考虑每天空气质量各自的概率，解答如下： （1）由于这15天中，空气质量为一级、二级、超标的天数各为5天， 随机抽出3天，恰有1天空气质量达到一级的概率. (2) 由题意，,与（1）同理， ,,,.的分布列及期望分别为： . 分析：由于问题（2）只是问题（1）的重复，我们重点分析一下问题（1）的两种解法。很明显，解法1所用数学模型即独立重复试验，解法2所用数学模型为简单随机事件。所谓独立重复试验是对一个试验（一次实验只有有限个结果）的重复操作，每次操作所得的结果相互独立（或互不影响）。所以，若已知在一次试验中，结果（或事件）发生的概率为，则在次独立重复试验中，事件发生次的概率为。在