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§3.8 角动量的加法 1) CG系数约定取实数，故 j1j2;m1m2|j1j2;jm= j1j2;jm|j1j2;m1m2 2) 由于CG系数为两基组的变换矩阵，组成(实)幺正矩阵,即正交矩阵： 六、CG系数的递推关系 由 得 用j1j2;m1m2|左乘上式,得CG系数的递推关系： 上式给出了不同CG系数间的关系。除符号约定外，递推关系和归一化条件完全确定了CG系数 由递推关系联系的CG系数 七、CG系数关系的应用例子：轨道与自旋的叠加 j1=l, j2=S=1/2; j=l±1/2 (l0)或 j=1/2(l=0). 讨论j=l+1/2情形。 由递推关系: 即 结合 ，得 耦合态的展开： 得： 即： 八、自旋(旋量)球谐函数 定义： 该函数是L2，S2，J2和Jz的本征函数 由L?S=(1/2)(J2-L2-S2),知自旋球谐函数也是L?S的本征函数，本征值为： 九、角动量叠加与转动矩阵 考虑由角动量本征值为j1的本征矢为基的转动算符D(j1)(R)和相应定义的D(j2)(R) ，其直积是可约的，在合适基矢下有如下矩阵表示: 采用群论的记号，即 直积空间：维数=N1*N2 直和空间: 维数=N1+N2 十、 CG系数与转动矩阵元之间的联系 由于 得两转动矩阵元的乘积与直积矩阵矩阵元的联系： 十一、球谐函数乘积的展开 利用CG系数所联系的转动矩阵及 知球谐函数乘积可以表示成球谐函数的线性叠加： ? 原则上，任意个球谐函数积的积分均可解析给出 §3.9角动量的Schwinger’s振子模型 回顾:对Euler角表征的转动， 可见只要求出 ，，则可得到 例如对j=1/2, 对j=1，利用Jy=(J+-J-)/2i及J±的矩阵元得： 由于 ，用级数展开,可知 最终得： 类似方法可给出d(j1)(β),但过程复杂.下面介绍简便获得d(j)的方法。 角动量的Schwinger’s振子模型 一、非耦合振子 将无耦合的两谐振子分别标记为“+”和“-”,有相应产生与湮灭算符 对易关系为 对N±的共同本征态|n+,n-，有 N±|n+,n-= n±|n+,n- 类比单振子态可写出 二、角动量和非耦合振子 定义 则有 (满足角动量対易关系) 对 可有关系 把“+”振子看成自旋向上1/2粒子，而“-”振子为自旋向下1/2粒子，则J+产生一自旋向上粒子同时消灭一自旋向下粒子，从而角动量的z分量加 。类似地，J-使总自旋z分量- 在上述操作中，总粒子数(n++n-)均不变 将n+与j+m对应，n-与j-m对应，则上式与熟知的算符J±、Jz及J2作用形式相同. 故可用 将角动量为j的体系看为(j+m)个自旋向上和(j-m)个自旋向下的粒子组成，这种等价至少对转动下的变换性质适用(具有相同的代数关系式)。但这种对应有特殊性。由于 (j+m)自旋向上粒子和(j-m)自旋向下粒子可导致总角动量为J=j,j-1,j-2,…。这种对应相当于向上自旋与向下自旋态以完全对称形式叠加的特殊情形。 这里：|0=|0,0 三、任意角动量体系的转动矩阵表达式 由于 ，对 有 由 ，利用Baker-Hausdorff引理： 可得 及 可推得 对照 相比 项系数 得 此即 的Wigner公式，适用于任意j。 利用Schwinger振子模型的推导比以前的推导方式简洁很多 作业 3.23、3.24、3.25