2016年线性代数期末复习参考答案.docx

《线性代数》期末复习题 2016.11.08（考试题型：填空题、选择题、计算题、解答题、证明题）第一章 行列式重点：1、行列式的概念（行列式的定义、性质） 2、行列式的计算（化零降阶法） 排列的逆序数是_______________.2. 计算四阶行列式.3. 设，试求：.4. 若四阶行列式D中第四行的元素依次为1,2,3,4，它们的余子式分别为2,3,4,5，则行列式的值为 .第二章 矩阵及其运算重点：1、矩阵的概念及基本运算（和差、数乘、乘积） 2、逆矩阵的概念与计算（可逆的判定、伴随矩阵；代数余子式法、初等行变换法） 3、矩阵秩的概念及求法（初等变换法）4、克拉默法则（行列式的应用）1. 设 求及.2. 设，，令，试求.3．设为4阶矩阵，为的伴随矩阵，且，求行列式的值.4. 设方阵满足，证明：及都可逆 并求及.5. 设矩阵，试求的行最简形.6. 试利用初等行变换求解矩阵方程.7.如果有非零解，则 .第三、四章 向量空间（向量组的线性相关性）、线性方程组重点：1、线性相关与线性无关的概念、向量组的等价（线性表示与线性方程组的对应） 2、向量组的秩（转化为矩阵的秩、最大无关组） 3、线性方程组的解（初等变换化为行最简形，解的判定）4、线性方程组解的结构（齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的解）1. 设向量组线性无关，证明：也线性无关.2. 设,,,,为值时：(1) 不能由，，线性表出；(2)可由，，的线性表出，并且表示方法唯一；(3)可由，，的线性表出，并且表示方法不唯一.3. 设向量组，，， 的秩为2 求 .4．求向量组的秩和一个最大无关组，并将其余向量表示为该最大无关组的线性组合，其中：5. 设为4矩阵，且线性方程组 满足，并且已知 为方程组的两个解，试求出方程组的全部解.6．求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系.7. 取何值时，非齐次线性方程组(1)有唯一解； (2)无解； (3)有无穷多解；并在方程有无穷多解时求其通解.第五、六章 矩阵的特征值与特征向量(相似矩阵)、二次型重点：1、方阵的特征值与特征向量（求解、性质） 2、向量内积、长度及正交性(施密特正交化) 3、二次型及其标准型（正交变换法、配方法） 4、二次型的正定性1．求矩阵的特征值和特征向量.2．已知三阶方阵A的特征值为, 则______.3. 设矩阵相似于，其中求的值.4. 已知向量与向量正交，则______.5. 求一个正交变换化二次型为标准形，并写出正交变换矩阵.6. 判别二次型的正定性2016年线代期末复习参考答案（有错误请及时联系我，以便改正；方法不唯一；有的题答案不唯一）第一章 行列式排列的逆序数是_______________.我的答案：22. 计算四阶行列式.解： =2×3×4-24 （练习册P3-4）设，试求：.解： （练习册P6---二）4. 若四阶行列式D中第四行的元素依次为1,2,3,4，它们的余子式分别为2,3,4,5，则行列式的值为 .解：矩阵及其运算设 求及.解： （练习册P14--一）设，，令，试求.解： （练习册P14--5）设为4阶矩阵，为的伴随矩阵，且，求行列式的值.解：（练习册P16-五）设方阵满足，证明：及都可逆 并求及.证：由得 及都可逆，且，. （练习册P16-六）设矩阵，试求的行最简形.解：（练习册P19-二）试利用初等行变换求解矩阵方程.解： 令 则 AX=B A可逆 （练习册P20--四）如果有非零解，则 .解： 解得： ，第三、四章 向量空间（向量组的线性相关性）、线性方程组1. 设向量组线性无关，证明：也线性无关.证： （练习册P34--四）2. 设,,,,为值时：(1) 不能由，，线性表出；(2)可由，，的线性表出，并且表示方法唯一；(3)可由，，的线性表出，并且表示方法不唯一.解： （练习册P32--三）设向量组，，， 的秩为2 求 .解：（练习册P35--二）4．求向量组的秩和一个最大无关组，并将其余向量表示为该最大无关组的线性组合，其中：解： （练习册P35--三）设为4矩阵，且线性方程组 满足，并且已知 为方程组的两个解，试求出方程组的全部解.解：原方程组的全部解为： （练习册§4.4-二）6．求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系.解：（答案不唯一）7. 取何值时，非齐次线性方程组有唯一解； (2)无解； (3)有无穷多解；并在方程有无穷多解时求其通解.解：（答案不唯一）第五、六章 矩阵的特征值与特征向量(相似矩阵)、二次型1．求矩阵的特征值和特征向量. （练习册§5.1-三-2）解：已知三阶方阵A的特征值为, 则______.解： （练习册§5.1--六）设矩阵相似于，其中求的值.解: 由题意得