上极限和下极限.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 返回 后页 前页 *§3 上极限和下极限 数列的上极限与下极限是非常有用的概念, 通过 一、上(下)极限的基本概念 程来说, 上(下)极限也是不可缺少的工具. 极限或下极限来解决问题. 此外, 对于不少后继课 考虑的某些数列不存在极限的情形, 那时需要用上 册第十二、十四章讨论级数收敛性时, 常会遇到所 它们可得出数列极限存在的另一个充要条件. 在下 二、上(下)极限的基本性质 返回 一、上(下)极限的基本概念 注 点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于: 定义1 若数列 满足: 在数 的任何一个邻域 内均含有 中的无限多项, 则称 x0 是数列 常数列 只有一个聚点: a . 的一个聚点. 限多个项”. 现举例如下: 前者要求 “含有无限多个点”, 后者要求 “含有无 定理7.4 有界数列至少存在一个聚点, 并且有最大 但作为数列来说, 它却有两个聚点: 有五个聚点: 数列 从数列聚点的定义不难看出, x0 是数列 的聚 作为点集来说它仅有两个点, 故没有聚点; 点的一个充要条件是: 存在 的一个子列 聚点和最小聚点. 又设 由于 E 非空有界, 故由确界原理, 存在 下面证明 是 { xn } 的最大聚点, 亦即 证 设 为有界数列, 由致密性定理, 存在一个 的一个聚点. 收敛子列 于是 首先, 由上确界的性质, 存在 使 存在 使 存在 使 的无限多项. 现依次令 存在 使 因为 是 的聚点, 所以对任意正数 在区间 这样就得到了 { xn } 的一个子列　　　满足: 同理可证 定义 2 有界数列 的最大聚点 与最小聚点 分别称为 的上、下极限, 记为 即证得 注 由定理 7.4 得知, 有界数列必有上、下极限. 提供了一个新的平台. 的上、下极限总是存在的, 这为研究数列的性质 极限来研究该数列往往是徒劳的; 但是有界数列 数列若有界, 它的极限可以不存在, 此时想通过 这样, 上、下极限的优越性就显现出来了: 一个 例1 考察以下两个数列的上、下极限: 从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限 之间存在着的内在联系. 详细讨论请见下文. 二、上(下)极限的基本性质 由上、下极限的定义, 立即得出: 定理7.5 对任何有界数列 有 下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关 系. 定理7.6 有界数列 存在极限的充要条件是: (1) (2) 证 设 对于任意正数 在 之外 只有 有限项. 这样, 对任意的 若 只有有限项. 这就是说, B 不是 的聚点, 故 仅有一个聚点 A, 从而 那么在 内( 此时必 取 反之, 若上式成立, 则 的聚点惟一 (设为 A) , 一的假设相矛盾. 另一聚点, 导致与聚点惟 性定理, 这无限多项必有 的无限多项. 由致密 之外含有 使得在 倘若不然,则存在 此时易证 定理7.7 设 为有界数列, 则有 的充要条件是: 对于任意的 (i) 存在 N, 当 n N 时, 的充要条件是: 对于任意的 (i) 存在 N, 当 n N 时, 证 在形式上是对称的, 所以仅证明 . 必要性 设 因为 A 是 的一个聚点, 使得 所以存在 故对于任 意的 存在 当 k K 时， 将 中的前面 K 项剔除, 这样就证明了(ii). 上, 至多只含 的有限项. 不然的 话, 因为 有界, 故 在 上 还有聚点, 这与 A 是最大聚点相矛盾. 设这有限项 又因 A 是 的最大聚点, 所以对上述 在区间 , e 的最大下标为 N, 那么当 n N 时, 充分性 任给 综合 (i) 和 (ii), 在 上含有 { xn } 的无限项, 即 A 是 { xn } 的聚点. 而对于任意的 这说明在 定理7.8 (保不等式性) 设 { xn }, { yn } 均为有界数 { xn } 的有限项, 故 不是 { xn } 的 上也至多只有 从而有 聚点,所以 A 是 的最大聚点 . 列,并且满足: 存在 当 n N0 时, 有 则取上(下)极限后, 原来的不等