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Markowitz均值—方差投资组合方法的简单应用 摘 要：Markowitz在他1959年出版的著作中提出的均值-方差投资组合方法是上世纪五十年代证券组合投资理论的一项最有意义的工作，本文对其理论模型进行了简单的应用，并提出一些思考，认为均值—方差模型在某种程度上的确为我们在进行投资组合时提供了一些参考，但是其中有些问题还是值得商榷的。 关 键 词：均值—方差模型 ；投资组合 1.引言 Markowitz在他1959年出版的著作中提出的均值-方差投资组合方法可以说是上世纪五十年代证券组合投资理论的一项最有意义的工作，他的理论的独特之处在于他认为分散化投资可有效降低投资风险，但一般不能消除风险，而且在其论文中证券组合的风险用方差来度量。另外，他是第一个给出了分散化投资理念的数学形式，即“整体风险不低于各部分风险之和”的金融版本。 2.Markowitz均值—方差模型的简单概述 Markowitz的投资组合理论基于一些基本的假设： （1）投资者事先就已知道投资证券的收益率的概率分布。这个假设蕴涵证券市场是有效的。 （2）投资风险用证券收益率的方差或标准差来度量。 （3）投资者都遵守占优原则，即同一风险水平下，选择收益率较高的证券；同一收益率水平下，选择风险较低的证券。 （4）各种证券的收益率之间有一定的相关性，它们之间的相关程度可以用相关系数或收益率之间的协方差来表示。 （5）每种证券的收益率都服从正态分布。 （6）每一个证券都是无限可分的，这意味着，如果投资者愿意的话，他可以购买一个股份的一部分。 （7）投资者可以以一个无风险利率贷出或借入资金。 （8）税收和交易成本均忽略不计，即认为市场是一个无摩擦的市场。 以上假设条件中,（1）-（4）为Markowitz的假设,（5）-（8）为其隐含的假设。 假如我们从金融市场上已经选出了种证券，表示投资到第（）种证券的价值比率,即权数。表示由这种证券构成的一个证券组合，组合中的权数可以为负，例如就表示该组合投资者卖空了第种证券，将所得资金连同自筹资金买入其它的证券。表示第种证券的收益率，表示证券组合的收益率。由于受金融市场波动及投资者个人理财行为等多种因素的影响，这里的（），从而一般呈现随机变化，从概率统计的角度来看，它们均是随机变量。现在进一步假设X=为证券组合的资金投资比例系数向量（即权重向量），在一般的数理金融分析中也称X=为一个投资组合；=为证券组合投资的收益率向量；=为的期望向量，即=；，。下面定义几个基于均值-方差的计量指标：平均指标——用来度量证券组合的平均收益水平：期望收益率：==X；变异指标——用来度量证券组合投资的风险：== XX。 基于以上假设, Markowitz的组合投资模型为: (1)允许卖空时的数学模型 　　 min = XX 　　　　 其中为证券组合的预期收益率, 。 这个模型有唯一的最优解：X= 其中 (2)不允许卖空时的数学模型 min = XX 其中为投资者所需的最低收益率，。这个模型比（1）中的模型多了一个非负限制，也可以得到相应的解和有效边界，其中有效边界为由一系列开口向右的抛物线连接而成。 3.模型的应用 本文中我们选择2010年02月25日统计的股票关注度排行中的10支股票作为研究对象。由于2008年发生的金融危机对金融市场的打击非常大，影响也非常深远，以至于2009年的数据不是很具有代表性，加之2007年全年的牛市，所以我们舍弃2006年——2009年各股的数据，而选择2005年各股的月度收益率作为数据来进行实验。另外，由于杰瑞股份（002352）、中国平安（601318）、上海凯宝（300039）、中国建筑（601668）、獐子岛（002069）在2005年没有数据，所以我们舍弃这些股票而继续选择接下来的股票进行实验，以补足10支股票。我们从中挑选的十支股票的月度收益率如表2所示。 表2 各股月收益率：（2005-01-01——2005-12-31） 月份 600545 新疆城建 600036 招商银行 000523广州浪奇 600000 浦发银行 000735罗 牛 山 600837海通证券 000632三木集团 600022济南钢铁 600509天富热电 600019宝钢股份 1 -11.02% +1.56% -6.98% +5.29% -6.27% -4.28% -0.35% -5.71% -12.07% +2.67% 2 +7.14% +2.83% +7.85% +5.02% +13.75% +15.27% -49.83% +5.88% +9.30% +3.25% 3 -7.56% -0.80% -12.66% -10.59% -11.76%