正态分布大数定律与中心极限定理.pptVIP

四、切比雪夫定理 1.背景：若已知一个随机变量分布的均值与方差，那么随机变量值的是以什么形式集中在均值附近？例如某年级1000名学生线性代数课程成绩的均值为85分，我们关心的是，有多少学生的成绩集中在均值附近？ 2.切比雪夫定理（不等式）： 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 例题4.4.1 设独立随机变量 并且方差是一致有上界的，即存在某 则对于任何正数 ?，恒有 定理2（切比雪夫大数定理） 分别有数学期望 及方差 D(X1), 一常数K，使得 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 证 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 3.依概率收敛定义 推论： 存在: 设独立随机变量 服从同一分布,期望及方差 则对于任何正数 ?，有 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 在独立试验序列中,设事件 A 的概率P(A) = p， 定理3(伯努利定理） 按概率收敛于事件 A 的概率p.即对于任何正数 则事件 A在 n 次独立试验中发生的频率fn(A),当试验次数 ?, 有 证 设随机变量 Xi 表示事件A 在第 i 次试验中发生的次数(i=1,2, …,n, …), 则这些随机变量相互独立，服从相同的0-1分布， 且有数学期望与方差： 由切比雪夫定理的推论即得 而 就是事件A在n次试验中发生的次数m，由此可知 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 五、中心极限定理 1.背景：大数定理告诉我们，随机变量个数很大时，独立随机变量之和收敛于其均值的和。此时，独立随机变量之和的标准变量的概率分布应是什么状态？中心极限定理告诉我们，变量个数很大时，和的分布依概率收敛于标准正态分布。 设随机变量之和为: 且数学期望和方差都存在： 设随机变量 相互独立, 则 则和的标准变量为： 2.中心极限定理变量的设定 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 列维定理 服从相同的分布， 并且有数学期望和方差： 则当 时， (z 为任意实数) 设独立随机变量 它们和的极限分布是正态分布，即 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 各次实验中发生的概率为 棣莫弗—拉普拉斯定理　 n 次实验中发生的次数, 则有 其中z 是任何实数， 设在独立实验序列中, 事件A 在 随机变量 表示事件A 在 为任意实数 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 当 n 充分大时, 变量　 近似地服从正态分布 由于随机变量　服从二项分布 所以棣莫弗—拉普拉斯 定理说明: 的随机 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 例题4.5.1 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 一、正态分布的概率密度函数与分布函数 1.背景：正态分布是现代统计学的基础。18世纪科学家发现测量的误差具有惊人的规律性，这种规律性满足类似于某种特殊的“中间大，两头小”的特征，现实中众多的问题都具有这种特性，棣美佛、拉普拉斯、高斯是最初研究类似现象并发现了其密度和分布的数学家。他们将这种分布称为正态分布。 2.一般正态分布的概率密度函数与分布函数 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 记作 其中? 及? ＞0都为常数，这种分布叫做正态分布或高斯分布。 设连续型随机变量 X 的概率密度为 1.正态变量的密度函数 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 特别地，当 时，正态分布 叫做标准正态分布。 其概率密度为 2.正态分布 的密度曲线 若固定μ=0 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 0.5 3.正态变量的分布函数 4.标准正态分布的密度函数与分布函数 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 4.正态密度函数的性质 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 （3） 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 若 , 求X 落在区间 内的概率， 其中 例题4.1.2 例题4.1.1 , 解：查表可得： 故 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 解 查表得 第四章 正态分布、大数定律与中心极限