第8章矩阵特征值计算学案.ppt

8.3 正交变换与矩阵分解 8.3.1 豪斯霍尔德变换 　　定义 设向量w?Rn，且wTw=1，称矩阵 为初等反射矩阵，这个矩阵也称为豪斯霍尔德变换. 如果记w=(w1,w2, …,wn)，则有 　　定理12 设有初等反射矩阵，其中H=I-2wwT，其中wTw=1，则 　　(1) H是对称矩阵，即HT=H. 　　(2) H是正交矩阵，即H-1=H. 　　(3) 设A为对称矩阵，那么 A1=H-1AH=HAH 即亦是对称矩阵. 　　证明 只证H的正交性，其中显然. HTH=H2=(I-2wwT)(I-2wwT)=I-4wwT+4w(wTw)wT=I. 　　设向量u?0，则显然 是一个初等反射矩阵. v w S x v? 图 8-1 O y 初等反射矩阵的几何意义:考虑以为w法向量且过原点O的超平面S:wTx=0. 任取向量v?Rn, 则v=x+y, 其中x?S, y?ST. 于是 Hx=(I-2wwT)x=x-2wwTx=x. 从而 Hv=x-y=v?. 其中v?为v关于平面S的镜面反射. 　　初等反射矩阵在计算上的意义是它能用来约化矩阵. 设向量Hx?0, 可选择一初等反射矩阵H, 使Hx=y. Hy=(I-2wwT)y=y-2wwTy=-y. 　　定理13 设x,y为两个不相等的n维向量, ||x||2=||y||2,则存在一个初等反射矩阵H，使Hx=y. 　　证明 令　 　 , 则得到一个初等反射矩阵 而且 因为 所以 w是使Hx=y成立的唯一长度等于1的向量(不计符号). 　　定理14(约化定理) 设x=(x1,x2,…,xn)T?0, 则存在初等反射矩阵H，使Hx=-σe1，其中 　　证明 记y=-σe1, 设x? y, 则有||x||2=||y||2, 由定理13,存在变换 H=I-2wwT , 使Hx=y=-σe1,其中 其中记u=(x1+σ,x2,…,xn)T，　　 . 　　如果σ和x1异号, 那么计算x1+σ时有效数字可能损失, 我们取σ和x1有相同的符号, 即取 　　在计算σ时, 可能上溢或下溢, 为了避免溢出, 将x规范化 　　记u=x+σe1=(u1,u2,…,un)T，于是 则有H?使 H ?x ?=σ?e1，其中 　　例6 设x=(3, 5, 1, 1)T，则||x||2=6. 取σ=6, 可直接验证Hx=-σe1=(-6, 0, 0, 0)T. 8.3.2 吉文斯变换 　　设向量x,y?R2，则变换 或 是平面上向量的一个旋转变换，其中 为正交变换. 　　R2中变换 其中x=(x1,x2,…,xn)T, y=(y1,y2,…,yn)T，而 称为Rn中平面{xi, xj}的旋转变换，也称为吉文斯变换. P=P(i, j, ?)=P(i, j)称为平面旋转矩阵. 　　显然，P=P(i, j, ?)具有性质： 　　(1) P与单位阵I只是在(i, i), (i, j), (j, i), (j, j)位置元素不一样，其它相同. 　　(2) P为正交矩阵(P-1=PT). 　　(3) P(i, j)A(左乘)只需计算第i行与第j行元素，即对A=(aij)m×n有 其中c=cos?, s=sin?. 　　(4) AP(i, j)(右乘)只需计算第i列与第j列元素 利用平面旋转变换，可得向量x中的指定元素变为零. 　　定理15(约化定理) 设x=(x1,…,xi,…,xj,…,xn)T, 其中不全为零，则可选择平面旋转阵P=P(i, j, ?)，使 其中 于是，由c, s的取法得 　　证明 取c=cos?=xi/x?i , s=sin? =xj/x?i ，由P(i, j,?)x =x?=(x?1,…,x?i,…,x?j,…,x?n)T, 利用矩阵乘法, 显然有 8.3.3 矩阵的QR分解与舒尔分解 定理16 设A∈Rn×n非奇异，则存在正交矩阵P，使PA=R，其中R为上三角矩阵. 证明 1. 用吉文斯变换给出构造P的方法. (1) 第1步约化，由设有j(j=1,2, …,n)使aj1?0，则可选择吉文斯变换P(1, j)，将aj1处的元素化为零. 即若aj1?0 (j=2,3, …,n)，则存在P(1, j)使得 可简记为P1A=A(2)，其中P1=P(1,n)…P(1,2). 定理8 设A∈Rn×n有n个线性无关的特征向量,主特征值?1满足|?1||?2|???|?n|, 则对任意非零初始向量v0=u0(a1?0), 有幂法计算公式为({uk},{vk}) 则有 　　例2 用幂法计算