泊松過程的生成及其统计分析.docx

泊松过程的生成及其统计分析实验报告班级：硕2035班 姓名：吕奇学号：3112091020 一、实验题目假设一个交换系统有M部电话，每个用户在很短的时间（单位时间内）呼叫一次的概率为P；用户间呼入的时刻相互独立，当M很大，P很小时，时间t内到达交换机的呼叫次数构成泊松过程N(t)。确定此泊松过程的参数。利用计算机仿真N(t)的生成过程。注意合理选择M和P，时间分辨率为一个单位时间。为了比较生成的N(t)与理论模型的吻合程度。取N(t)的多个样本并选取3个典型时间,,，得到,,三个随机变量的样本，在一张图上画出其直方图及理论分布曲线，并将两者对照。比较M选取不同时的效果。注意：样本个数足够多。验证N(t)的增量平稳性。画出任意相邻两次呼叫间隔的直方图，和理论值进行对照。验证其与其它相邻两次呼叫间隔随机变量的独立性。二、实验过程1、确定此泊松过程的参数由题目容易知道，在很短的时间内M个用户的呼叫一次的概率为MP，而由定义知道，时间内到达交换机的呼叫一次的概率为，故有 （1）从而有。2、利用计算机仿真N(t)的生成过程对每个用户，在时间内呼叫一次的概率P很小，可以用rand函数生成一组[0,1]的随机数，当随机数小于P时，则认为有呼叫，将其置为1，否则认为没有呼叫，置为0；有M部电话，则生成M组[0,1]的随机数，对每组随机数用上诉方法得到一个只有0和1的逻辑矩阵，用来表示某一时刻是否有呼叫。下面是,,M=3000,总时间为T=5的实验结果：图1 N(t)的生成结果可以看到呼叫的计数过程，是递增的，并且可以计算，时间T=5内呼叫总次数平均为,多次时间结果最后的呼叫次数都在15次左右。程序：clcclearclose allp=10^(-6);M=3000;dt=0.001;T=5;x=rand(M,T/dt);y=[];for i=1:M for j=1:T/dt if x(i,j)p x(i,j)=1; else x(i,j)=0; end endendy=(sum(x)~=0);m=[];m(1)=0;for i=1:T/dt m(i+1)=m(i)+y(i);endt=1:T/dt+1;t=t*dt;plot(t,m)此外，matlab中还有二项分布生成函数binornd，可以用x=binornd(1,p,M,T/dt)代替中间的两个for循环，这个函数的功能是对一个发生概率为P的事件随机试验一次，若发生置为1，不发生置为0，此实验要对M个电话实验T/dt次，故生成的是M行，T/dt的矩阵，运行结果是一样的。3、比较生成的N(t)与理论模型的吻合程度（1）,,的统计直方图和理论分布曲线下面是,,M=3000,总时间为T=1.2，选取时间t1=0.3，t2=0.6，t3=0.9作2000次试验统计的实验结果：图2 ,,的统计直方图和理论分布曲线在图2中，圆圈代表的统计直方图，正方形代表的统计直方图，五角星代表的直方图。从图中可以看出，虽然有较小的误差，但是生成的N(t)和理论模型还是基本吻合的。程序中主要用到了直方图统计函数hist，生成max(Nt1)-min(Nt1)个直方条间的间隔刚好是1，此时的坐标分别为0.5、1.5、2.5……，并且0.5的直方条包括了0次呼叫和1次呼叫的的概率，1.5、2.5、3.5等等依次代表的是2次、3次、4次呼叫的概率，因而有了程序中的相关修正。程序：clcclearclose allp=5*10^(-6);M=3000;dt=0.003;a=M*p/dt;T=1.2; loop=2000;t1=0.3;t2=0.6;t3=0.9;for k=1:loop %作loop次试验 x=rand(M,T/dt); for i=1:M for j=1:T/dt if x(i,j)p x(i,j)=1; else x(i,j)=0; end end end tt=dt*find((sum(x)~=0)==1); %每次试验各个呼叫发生的时刻 Nt1(k)=sum(ttt1); %每次试验在时间（0，t1）内呼叫的次数 Nt2(k)=sum(ttt2); Nt3(k)=sum(ttt3);end[N1,index1]=hist(Nt1,max(Nt1)-min(Nt1)); %（0，t1）内呼叫次数的统计直方图[N2,index2]=hist(Nt2,max(Nt2)-min(Nt2));[N3,index3]=hist(Nt3,max(Nt3)-min(Nt3));index1=[min(Nt1),index1+0.5]; %作相关修正index2=[min(Nt2),index2+0.5];index3=[min(Nt3),index3+0.5];N1=[sum(Nt1==min(Nt1))