浅谈微积分求极限的方法.doc

浅谈微积分中求极限的方法 孟凡洲 （河南大学数学与信息科学学院 开封475004） 摘 要 极限是微积分的一条基本线索，本文概述了微积分中几种常用的求极限的方法：利用极限的定义验证极限；利用单调有界定理求极限；利用初等变换求极限；利用夹逼性求极限；利用两个主要极限求极限；利用洛必达法则求极限；利用等价量代换求极限；利用定积分求极限；利用上下极限法求极限；利用压缩性条件求极限；利用递推公式求极限；利用泰勒展开式求极限等. 关键词 极限;洛必达法则;单调有界. 1利用数列极限的定义验证极限 利用极限的定义验证极限，应先根据极限的唯一性求出极限，然后再证明极限的存. 例1 求=. 解 因 要证： 只需证： N=max 因此 只要 既有： 所以， 2利用单调有界定理求极限 利用单调有界定理求极限的依据是单调有界数列必有极限.所以我们在求极限时一般分三个步骤：1 证单调性 2 证有界性 3 设出极限，求解关于极限的方程. 例2 证明序列 的极限存在，并求. 证明 令= 则： 故，由及的单调递增性知： （1）若 ，则 设时 则 由归纳法可知： 于是 即 显然： 故 . 于是：单调递增且有上界，于是收敛，我们记收敛于，则 于是在中取极限值，得： 可得 而. （2）时 则同理可证： 于是： 即 显然 故 故 单调递减，且有下界，故收敛. 同样可知 . 3 利用初等变换求极限 利用初等变换是将变形，然后求极限。利用初等变换求极限也是求极限的一个重要方法，应该熟练的掌握。利用初等变换求极限时要注意变形的准确性，要做有利于解题的变形. 例3 设= 求. 解 两边同乘以 ，则可以得到： = = =. 4 利用夹逼性定理求极限 夹逼性是指若存在自然数，当时，恒有若 则 ，利用夹逼性求极限时，应注意将做适当的放大或缩小. 例4 求极限. 解 记 则 . 又 从而 . 例5 . 解 由: 从而 不等式两边同时开次得： 因为 ， 由夹逼定理知：. 5 利用两个重要极限求极限 两个重要极限是： （1） （2） . 其中第一种重要极限可理解为，而第二种极限可以理解为或者. 两个重要求极限是求极限的一个重要手段。我们要根据题目中给出的条件灵活的选择适当的形式，以使运算更加便. 例6 求. 解 6 利用洛必达法则求极限 利用洛必达法则求极限的时候应该注意到或不存在不能得出或也不存在. 洛必达法则是处理未定式极限的重要手段，且非常有效.但它只能应用于（）型和型的未定式.只要是（）型和型的，都可一直进行下去.每完成一次法则都要将式子化简.而对于等形式，需化为（）型和型的形式求解. 例7 求 解 = = = = = 0 例8 证明：. 证明 其中用了变量代换例 . 7 利用定理求极限 定理是求分式数列极限的常用方法，是求极限的重要手段. 定理：设是单调增加的正无穷大量，（可以是有限量，），则 . 例 9 设 （其中）. 求 . 解 因，应用公式， = （再次用公式） . 8 利用等价量代换求极限 等价量代换是我们求解极限问题常用的方法.解题时要注意无穷小量的代换，熟悉常用的无穷小量代换，能便捷的求出极限. 注意几个几个常用的无穷小量等价替换： 其中且 为常数 . 例10 求极限. 解 = = = =1 . 9 利用定积分求极限 定义：若f（x）在[a,b]上可积，则对[a,b]的任一分割 T ：，及介点都有 其中 ， . 例11 求极限 . 解 记 则， ，它可看作在上对应于等分割以及介点的积分和.于是， 故. 10 利用上下极限法求极限 利用上下极限法求极限是一个很好的求极限方法，适用于一般的求数列极限，要很好的掌握. 收敛的充分必要条件是：. 例12 设，. 则收敛 证明 若，则. 由时，知，，设 在已知等式中，分别取上下极限，知：，易知 故收敛. 11 利用微分中值定理求极限 微分中值定理和其他求极限的方法联系起来，能使问题更简便 例13 求极限. 解 设，在与所构成的区间上应用Lagrange中值定理： 4 (介于). 12 利用压缩性条件求极限 原理：设满足：则收敛. 例14 设，求. 解 首先证明的存在： 由已知条件： 又显然, 于是， 故 于是存在，记为 则在上式中求极限：，即 又 故： 于是：（舍去）. 13 利用递推公式求极限 理论：我们常常见到一些数列满足 ,我们可以利用的规律性