Ch8、多元函数分法及其应用.doc

Ch8、多元函数微分法及其应用 Ch8、多元函数微分法及其应用 §1、多元函数的基本概念 1、多元函数的定义（以二元函数为例） 定义1：设 EMBED Equation.3 为 EMBED Equation.3 面上的点集，若对 EMBED Equation.3 中任一点 EMBED Equation.3 ，变量 EMBED Equation.3 总有唯一确定的值与之对应，则称 EMBED Equation.3 是 EMBED Equation.3 的二元函数，记为 EMBED Equation.3 。 二元函数的定义域为 EMBED Equation.3 面上的二维区域，二元函数 EMBED Equation.3 的几何图形为曲面。例如，对二元函数 EMBED Equation.3 ，其定义域 EMBED Equation.3 为 EMBED Equation.3 面上的圆域，其图形为上半球面。 特别地，自变量 EMBED Equation.3 与 EMBED Equation.3 无关。 2、多元函数的极限 定义2： EMBED Equation.3 称为二重极限。 定理1：二重极限 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 以任何方式趋于 EMBED Equation.3 时， EMBED Equation.3 均趋于 EMBED Equation.3 。 推论：若当 EMBED Equation.3 沿不同路径趋于 EMBED Equation.3 时， EMBED Equation.3 趋于不同值，则 EMBED Equation.3 不存在。 例1、 EMBED Equation.3 ，证明 EMBED Equation.3 不存在。 证：当 EMBED Equation.3 沿 EMBED Equation.3 趋于 EMBED Equation.3 时， EMBED Equation.3 ， 当 EMBED Equation.3 沿 EMBED Equation.3 趋于 EMBED Equation.3 时， EMBED Equation.3 ， 故 EMBED Equation.3 不存在。 或证：当 EMBED Equation.3 沿 EMBED Equation.3 趋于 EMBED Equation.3 时， EMBED Equation.3 ， 与 EMBED Equation.3 有关，故 EMBED Equation.3 不存在。 例2、求 EMBED Equation.3 解：当 EMBED Equation.3 沿 EMBED Equation.3 趋于 EMBED Equation.3 时，原式 EMBED Equation.3 ，与 EMBED Equation.3 无关， 故 EMBED Equation.3 。（错误） 应解：当 EMBED Equation.3 沿 EMBED Equation.3 趋于 EMBED Equation.3 时，原式=0， 而当 EMBED Equation.3 沿 EMBED Equation.3 趋于 EMBED Equation.3 时，原式 EMBED Equation.3 ，故原极限不存在。 3、多元函数的连续性 定义3：若 EMBED Equation.3 ，则称 EMBED Equation.3 在 EMBED Equation.3 处连续。 定理2：多元初等函数在其定义区域内连续。 例如 EMBED Equation.3 上间断，而在其它点处均连续。 定理3：闭区域 EMBED Equation.3 上的多元连续函数 在 EMBED Equation.3 上有最大、最小值，从而有界； 在 EMBED Equation.3 上可取得介于最大、最小值之间的任何值。 例3、讨论 EMBED Equation.3 在 EMBED Equation.3 处的连续性。 解：