第六讲 立体几何题型的解题技巧.doc

第六讲 立体几何新题型的解题技巧 第六讲 立体几何新题型的解题技巧 【命题趋向】 在2007年高考中立体几何命题有如下特点： 1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系． 2.多面体中线面关系论证，空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现． 3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现． 4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点． 此类题目分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考点透视】 (A)版.掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念. (B)版. ①理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘. ②了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算. ③掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式. ④理解直线的方向向量、平面的法向量，向量在平面内的射影等概念. ⑤了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念. ⑥掌握棱柱、棱锥、球的性质，掌握球的表面积、体积公式. ⑦会画直棱柱、正棱锥的直观图. 空间距离和角是高考考查的重点：特别是以两点间距离，点到平面的距离，两异面直线的距离，直线与平面的距离以及两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角等作为命题的重点内容，高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查，分为多个小问题，也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题，但也可能在最后一问中设置有难度的问题. 不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色. 求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。 【例题解析】 考点1 点到平面的距离 求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 典型例题 例1（2007年福建卷理）如图，正三棱柱 的所有棱长都为 ， 为 中点． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的大小； （Ⅲ）求点 到平面 的距离． 考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的 大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力． 解答过程：解法一：（Ⅰ）取 中点 ，连结 ． 为正三角形， ． 正三棱柱 中，平面 平面 ， 平面 ． 连结 ，在正方形 中， 分别为 的中点， ， ． 在正方形 中， ， 平面 ． （Ⅱ）设 与 交于点 ，在平面 中，作 于 ，连结 ，由（Ⅰ）得 平面 ． ， 为二面角 的平面角． 在 中，由等面积法可求得 ， 又 ， ． 所以二面角 的大小为 ． （Ⅲ） 中， ， ． 在正三棱柱中， 到平面 的距离为 ． 设点 到平面 的距离为 ． 由 ，得 ， ． 点 到平面 的距离为 ． 解法二：（Ⅰ）取 中点 ，连结 ． 为正三角形， ． 在正三棱柱 中，平面 平面 ， 平面 ． 取 中点 ，以 为原点， ， ， 的方向为 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ． 平面 ． （Ⅱ）设平面 的法向量为 ． ， ． ， ， 令 得 为平面 的一个法向量． 由（Ⅰ）知 平面 ， 为平面 的法向量． ， ． 二面角 的大小为 ． （Ⅲ）由（Ⅱ）， 为平面 法向量， ． 点 到平面 的距离 ． 小结：本例中（Ⅲ）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的B点到平面 的距离转化为容易求的点K到平面 的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法. 例2.( 2006年湖南卷)如图,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4. (Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD； (Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角； (Ⅲ)求点P到平面QAD的距离. 命题目的：本题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 过程指引：方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角；方法二关键是掌握利用空间向量求空间距离和角的一般方法. 解答过程： 方法一　（Ⅰ）取AD的中点，连结PM，QM. 因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥， 所