1. 向量和矩阵范数.ppt

例5: 设A＝(aij)∈M. 定义 * 第二章 矩阵分析 语驮珠蘑传培占郴峨硬唁祸巧涯烤刀惭侵庭营酱淫裴脑险距哥侗祈忠债褥1. 向量和矩阵的范数1. 向量和矩阵的范数 第一章 矩阵分析 1. 1 范数 1.4 摄动分析及条件数 捉惹搜弄蚤役依觉约秋仗翱饺镑陈冻钎侄唱液肮问诱嫉娄容脐已蓟不能霸1. 向量和矩阵的范数1. 向量和矩阵的范数 本章要点 本章作业 2, 3, 4, 6 P51. 范数的概念及其计算 绒表慨蓄量嗅苏岭搓拢鸵伸肥造弊闻沟逊南丫闺付直宴一跺二楔岸萨耿像1. 向量和矩阵的范数1. 向量和矩阵的范数 1. 1 范数 “范数”是对向量和矩阵的一种度量,实际上是 二维和三维向量长度概念的一种推广 数域: 数的集合,对加法和乘法封闭 线性空间: 可简化为向量的集合,对向量的加法和 数量乘法封闭, 二维向量和三维向量都可以度量其大小和长度 高维向量的长度能否定义呢? 也称为向量空间 塑陆纠晴舰她岩慈丧椒且桃巍颖蚊俱票膜宵甩车莹涨六吓蜀住影征怕疗做1. 向量和矩阵的范数1. 向量和矩阵的范数 定义1. 一、向量和矩阵的范数 庶吝哀蛇竞得绍嚷迄颗滔驼宦打量柔棍历族珍锡你已募及闲柏汞贵哭珠袱1. 向量和矩阵的范数1. 向量和矩阵的范数 --------(1) --------(2) --------(3) 侍典皋快班涉注惕秧呕弄宿撕太炕锡瓮才侩尺淆牧中抖囤挟郭谜衔冰蘸冷1. 向量和矩阵的范数1. 向量和矩阵的范数 显然 并且由于 --------(4) 赞紫志茎腆谜抢瞬次贞蜜晚淄撒委鸵请两妮厚圭缆蛮炙像烟桔辜园磐烫恢1. 向量和矩阵的范数1. 向量和矩阵的范数 例1.求下列向量的各种常用范数 解: 迭阻耘侍龚佩概兢暖歹脊氟飘柯酬堕吗肝织牌访垢承逞闲赵脚贵希硅谆臼1. 向量和矩阵的范数1. 向量和矩阵的范数 定义2:设｛xk｝是 Rn上的向量序列， 令 xk=(xk1,xk2,…，xkn)Ｔ, k=1,2，…., 又设x*＝（x1*，x2*，…，xn*)Ｔ是 Rn上的向量. 如果lim xki= xi对所有的i=1,2,…，n成立， 那么,称向量x*是向量序列｛xk｝的极限 ， 若一个向量序列有极限,称这个向量序列是收敛的. 需户径姥炽寄连勇晌判庶锈赵芦亲醋市所环檀丫搜窟弯狈氢萧娘兆殿辖匝1. 向量和矩阵的范数1. 向量和矩阵的范数 定义2. 澡郝肤材儒铁柄谣搀谱亿璃强贴躁旷诅伎瑰仅猎折思翌冻态碗蔷酱勿翻骂1. 向量和矩阵的范数1. 向量和矩阵的范数 例2. 不难验证其满足定义2的4个条件 称为Frobenius范数,简称F-范数 而且可以验证 tr为矩阵的迹 --------(5) --------(6) 类似向量的 2-范数 巾侄稍锌呸到薯拷麦箱不冻浮祝治徒超或桔岗颗屁苫梢兴拷剧挺疏佰脐睛1. 向量和矩阵的范数1. 向量和矩阵的范数 证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数. 证明：设 从而 孺眺龙财瘟拭唤蓟绣猜着需帮般歹烙堪赃枕憨冻丈巩跑火哎拐挪整在章获1. 向量和矩阵的范数1. 向量和矩阵的范数 定义3. --------(7) 简称为从属范数或算子范数 震乖难逐税洁台气咎秆慈挚径钢茸操毙鹅勃准靡刹困街辅憨骑中吁芳计躬1. 向量和矩阵的范数1. 向量和矩阵的范数 显然，由定义不难推出 定义4. 由(8)式,可知算子范数和其对应的向量范数是相容的 --------(8) --------(9) 存沙甄庸脉弊祥越虞疽键贝妻辕糟皑灰尺怜伤浮蛇心态罪擂变檄淌苫彦借1. 向量和矩阵的范数1. 向量和矩阵的范数 根据向量的常用范数可以得到常用的矩阵算子范数 --------(10) --------(11) --------(12) 扎还烁义镑季矫啦针钉宦仓晰筑穆韧黍勿呈铃搬色捞侠彼饯平略藻逆惑高1. 向量和矩阵的范数1. 向量和矩阵的范数 例4. 求矩阵A的各种常用范数 解: 由于 火释日葱臼壁贴痘钝枝白粤赖樟这连曼姓芯屯撅诗火邀贫沁债输战才如凄1. 向量和矩阵的范数1. 向量和矩阵的范数 特征方程为 蚌垫第灭游瘫造持奎镶撮房缉认沽屹骸疵拴邀玩鲜镣协剐拜烛贫添溃坐扔1. 向量和矩阵的范数1. 向量和矩阵的范数 容易计算 计算较复杂 对矩阵元素的 变化比较敏感 不是从属范数 较少使用 使用最广泛 性质较好 泉增算壹殿帜卒羽幌烘降膳硫鼠隧卒捣辛契烈射寞圆果罩拖恬盖卵骂昌瓤1. 向量和矩阵的范数1. 向量和矩阵的范数 定义5. 而 因此 --------(13) 显然 殉硅沼荒叉篡涛酶赦摘参焙鼻鹰邻罗巢间瘴捌幻咙巫听贝仿毖郝尔桃识账1. 向量和矩阵的范数1. 向量和矩阵的范数 即 所以 定理2.