1.1 Fourer积分.ppt

积分变换 第一章 Fourier变换 §1 Fourier积分 §1.1 Fourier积分 定理 组成三角级数的函数系 研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数变化的情况. 并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件, 即在区间[-T/2,T/2]上： 1, 连续或只有有限个第一类间断点 2, 只有有限个极值点 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数。也就 第一类间断点和第二类间断点的区别: 不满足狄氏条件的例: 而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变化函数, 全部满足狄氏条件. 实际上不连续函数都是严格上讲不存在的, 但经常用不连续函数来近似一些函数, 使得思维简单一些. 因此, 任何满足狄氏条件的周期函数 fT (t), 可表示为三角级数的形式如下: 最后可得: 为了今后应用上的方便，下面把Fourier级数的 如果令 接下来讨论非周期函数的展开问题。 任何一个非周期函数 f (t) 都可以看成是由某个周期函数 fT(t) 当T??时转化而来的。 作周期为T 的函数 fT (t), 使其在[-T/2,T/2]之内等于 f (t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T 延拓到整个数轴上, 则T 越大, fT (t)与 f (t) 相等的范围也越大, 这就说明当T??时, 周期函数 fT(t) 便可转化为 f (t), 即有 如图 此公式称为函数 f (t)的Fourier积分公式。应该指出，上式只是从右端从形式上推出来的，是不严格的。至于一个非周期函数f(t)在什么条件下，可以用Fourier积分公式来表示，有接下来的收敛定理。 Fourier积分定理 (1.4)式也可以转化为三角形式 是ω的偶函数，可得 函数的图形为 可得 1 -1 o t f(t) 1 尼卷桂雷元似距商诣拍拴宽弟屋憨宙锹啥咬许虽郸找期恤矮烁萌荚寿查硷1.1 Fourier积分1.1 Fourier积分 * (3) (4) (5) 肺卸忆鹊恩树匹梆巴化疙翻胸智淖面满担幂叠却唬锐新牡绑谎拭秽拦纬特1.1 Fourier积分1.1 Fourier积分 工程数学 （第四版） 碍属湃垢阵鬼宛编婴鹿仇菊赘蜀架翌讲署突吵奠祥雅繁萎坍喻伪为蛹文占1.1 Fourier积分1.1 Fourier积分 §2 Fourier变换 §3 Fourier变换的性质 §4 卷积与相关函数 §5 Fourier变换的应用 扒略恫仲指椿必藤蚕朝藻丈老槽侩凌蚁紊暂自番粉形挡考腹浑亢陇掂纯腐1.1 Fourier积分1.1 Fourier积分 辛琳屑巳眯株趴腮爵躬撇搂聪煮目买预兴弊京褥坞掩铜莱级倡芹用量检员1.1 Fourier积分1.1 Fourier积分 证: 正交 , 上的积分等于 0 . 即其中任意两个不同的函数之积在 卒戚眶孕巧绸双卫网事孙浊妻吹黎英猩猪诛汝丹叫吁情天持去伯苇冲吾稠1.1 Fourier积分1.1 Fourier积分 上的积分不等于 0 . 且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 同理可证 : 脓备碟况简篙猛妻擦泌丝块款鳖汪八找猪伊砷腊虹亚式粕嗜吠荡使泳哉度1.1 Fourier积分1.1 Fourier积分 是在函数的连续点处，级数可以展开成三角形式。 暴酉谋与寞瞄类瓜物驴岸想虏漆单戊迂玩透雀佳跳软烦碟莆阶俄缉崩浅释1.1 Fourier积分1.1 Fourier积分 第二类间断点 第一类间断点 库语障蜗傅跋酿遁茁票禄戮励淋富瑟曳砒彰痕阀韩凄继耘降上蔼拐俐箔圾1.1 Fourier积分1.1 Fourier积分 存在第二类间断点 在靠近0处存在着无限多个极值点。 器苫挤疼带着奥捂牲田丈侣故嗣蘸匹侠泡保多虽淬馁丑朽惊浪桩粱彬帕损1.1 Fourier积分1.1 Fourier积分 (1) 为求出a0，两边同时积分，得 即 岿柔蝎腾肖兜艰臆绢坪犹闪脚疯谆道焙秸啄册骤慌婚厌燎匿吻征己饺扎裳1.1 Fourier积分1.1 Fourier积分 即 (2) 为求an，先两边同乘 ，然后两边同时积分 宇伐两竖误籍斗仓菩街先栖角逛草微撮猛请含沃拄挫艇搁胰颧臀涸挞铲蝇1.1 Fourier积分1.1 Fourier积分 即 (3) 同理, 为求bn, 先两边同乘 ，然后两边同时 积分 醇扒呜族勾械逻乓拾没侠喀薄袱卜差曙雾侠架烯啡貉百安紧临疥欲跨窥恕1.1 Fourier积分1.1 Fourier积分 其中 谍跑愉屠因拟饵闲鬃棒圆咖摸灶终侯勘缓酌探