高考数学总复习配套：选修4-2逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量摘要.doc

选修4－2　矩阵与变换第2课时　逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值 与特征向量(对应学生用书(理)189～191页) 考情分析 考点新知 ①掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件并能进行矩阵的运算. 求二阶矩阵的特征值和特征向量利用特征值和特征向量进行矩阵运算． ①理解逆矩阵的意义掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件并能进行矩阵的运算. 会求二阶矩阵的特征值和特征向量会利用矩阵求解方程组．会利用特征值和特征向量进行矩阵运算. 1. 设M＝＝求MN.解：MN＝＝已知矩阵M＝若矩阵M的逆矩阵M －1＝求a、b的值．解：由题意知MM－1＝E＝即＝即解得a＝5＝3.求矩阵的特征多项式．解：f(λ)＝＝(λ－1)(λ－2)＋2＝－＋4.(选修42习题第1题改编)求矩阵M＝[]的特征值．解：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ＋2)·(λ＋3)＝0令f(λ)＝0得M的特征值为λ＝－2＝－3.(选修42习题第1题改编)求矩阵N＝的特征值及相应的特征向量．解：矩阵N的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－8)·(λ＋3)＝0令f(λ)＝0得N的特征值为λ＝－3＝8当λ＝－3时一个解为故特征值λ＝－3的一个特征向量为；当λ＝8时一个解为故特征值λ＝8的一个特征向量为 1. 逆变换与逆矩阵(1) 对于二阶矩阵A、B若有AB＝BA＝E则称A是可逆的称为A的逆矩阵．(2) 若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵则AB也存在逆矩阵且(AB)1＝B－1－1(3) 利用行列式解二元一次方程组．特征值与特征向量(1) 设A是一个二阶矩阵如果对于实数λ存在一个非零向量α使Aα＝λα那么λ称为A的一个特征值而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．(2) 从几何上看特征向量的方向经变换矩阵A的作用后保持在同一条直线上这时特征向量或者方向不变(λ0)或者方向相反(λ0)．特别地当λ＝0时特征向量就变换成零向量．[备课札记] 题型1　求逆矩阵与逆变换例1　用解方程组的方法求下列矩阵M的逆矩阵．(1) M＝；(2) M＝解：(1) 设M－1＝则由定义知＝即解得故M－1＝(2) 设M－1＝则由定义知＝即解得故M－1＝ 已知矩阵M＝所对应的线性变换把点A(x)变成点A′(13)，试求M的逆矩阵及点A的坐标．解：依题意由M＝得|M|＝1则M－1＝从而由＝得＝＝＝故点坐标为(2－3)．题型2　求特征值与特征向量例2　已知矩阵M＝其中a∈R若点P(1－2)在矩阵M的变换下得到点P′(－4)．(1) 求实数a的值；(2) 求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．解：(1) 由＝得2－2a＝－4＝3.(2) 由(1)知M＝则矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ－3λ－4.令f(λ)＝0得矩阵M的特征值为－1与4.当λ＝－1时x＋y＝0矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为；当λ＝4时2x－3y＝0.∴ 矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为 已知M＝＝计算M解：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝λ－2λ－3.令f(λ)＝0解得λ＝3＝－1从而求得对应的一个特征向量分别为α＝＝令β＝mα＋nα则m＝4＝－3.＝M(4α1－3α) ＝4(M)－3M5α2) ＝4(λ)－3(λ) ＝4×3－3×(－1)＝题型3　根据特征值或特征向量求矩阵例3　矩阵M＝有特征向量为＝＝(1) 求和对应的特征值；(2) 对向量α＝记作α＝＋3利用这一表达式间接计算M解：1) 设向量、对应的特征值分别为λ、λ则＝λ，＝λ， 故λ＝2＝1即向量对应的特征值分别是2(2) 因为α＝＋3所以M＝M(e1＋3)＝M1＋3M＝λ＋3λ＝＝M(e1＋3)＝M＋3M＝λe1＋3λe2＝. 已知矩阵M＝有特征向量＝＝相应的特征值为λ(1) 求矩阵M的逆矩阵M－1及λ；(2) 对任意向量＝求M. 解：(1) 由矩阵M＝变换的意义知M－1＝又M＝λ，即＝λ，故λ＝2同理M＝λ，即＝λ，故λ＝－1.(2) 因为＝＝x＋y所以M＝M(x＋y·)＝xM＋yM＝xλ＋yλ＝ 1. 求函数f(x)＝的值域．解：f(x)＝－2－cosx＝－2－. 2. 已知矩阵A的逆矩阵A－1＝求矩阵A的特征值．解：∵ A－1＝E＝(A－1)－1－1＝＝(A－1)－1＝矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ－3λ－4.令f(λ)＝0解得矩阵A的特征值λ＝－12＝4(2013·江苏)已知矩阵A＝＝求矩阵A－1解：设矩阵A的逆矩阵为则＝即＝故a＝－1＝0＝0＝矩阵A的逆矩阵为A－1＝－1＝＝设曲线2x＋2xy＋y＝1在矩阵A＝(a0)对应的变换作用下得到的曲线为x＋y＝1.(1) 求实数a、b的值；(2) 求A的逆矩阵．解：(1) 设曲线2x＋2xy＋y＝1上任一点P(x)在矩阵A对应的变换下的象是P′(x′)，由＝＝得因为P′(x′)在圆x＋y＝1上所以(ax)＋(bx