高考椭圆大题专题分类摘要.doc

高考椭圆大题专题分类一、求椭圆的方程以及面积 x2 y2 6 1．已知椭圆 G：a2＋b2＝1(ab0)的离心率为 3 ，右焦点为(2 2，0)．斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A，B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为 P(－3，2)． (1)求椭圆 G 的方程； (2)求PAB 的面积． 解析 c 6 (1)由已知得 c＝2 2 ，a＝ 3 .解得 a＝2 3，又 b2＝a2－c2＝4. x2 y2 所以椭圆 G 的方程为12＋ 4 ＝1. (2)设直线 l 的方程为 y＝x＋m. y＝x＋m， ? ? 由? x2 y2 得 4x2＋6mx＋3m2－12＝0. ＋ ＝1 ? ?12 4 设 A、B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2)， AB 中点为 E(x0，y0)， 则 x0＝ x1＋x2 3m m 2 ＝－ 4 ，y0＝x0＋m＝ 4 .因为 AB 是等腰PAB 的底边，所以 PEAB. m 2－ 4所以 PE 的斜率 k＝3m＝－1.解得 m＝2. －3＋ 4此时方程为 4x2＋12x＝0.解得 x1＝－3，x2＝0. 所以 y1＝－1，y2＝2.所以|AB|＝3 2. 此时，点 P(－3，2)到直线 AB：x－y＋2＝0 的距离 d＝ 1 9 所以PAB 的面积 S＝2|AB|·d＝2. y2 x2 ?x1 y1? 2．(2013· 烟台一模)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆 C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)上两点，已知 m＝? b ， a ?，n ? ? 3 ?x2 y2? ＝? b ， a ?，若 m· n＝0 且椭圆的离心率 e＝ 2 ，短轴长为 2，O 为坐标原点． ? ? |－3－2＋2| 3 2 ＝ 2 ， 2(1)求椭圆的方程； (2)AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． 解析 a2－b2 c 3 (1)2b＝2，b＝1，e＝a＝ a ＝ 2 .y2 2 a＝2，c＝ 3.椭圆的方程为 4 ＋x ＝1. (2)当直线 AB 的斜率不存在，即 x1＝x2 时， y1＝－y2，由 m· n＝0 得 又2 2 y1 2 x1－ ＝0，y1 ＝4x2 1.42 2 4x1 A(x1，y1)在椭圆上，x1＋ ＝1，42 1 1 |x1|＝ 2 ，|y1|＝ 2，AOB 的面积 S＝2|x1||y1－y2|＝2|x1|·2|y1|＝1. y2 2 当直线 AB 的斜率存在时，设 AB 的方程为 y＝kx＋b(其中 b≠0)，代入 4 ＋x ＝1，得 (k2＋4)x2＋2kbx＋b2－4＝0.Δ＝(2kb)2－4(k2＋4)(b2－4)＝16(k2－b2＋4)，－2kb b2－4 x1＋x2＝ 2 ，x1x2＝ 2 ， k ＋4 k ＋4 y1y2 由已知 m· n＝0 得 x1x2＋ 4 ＝0， （kx1＋b）（kx2＋b） x1x2＋ ＝0，代入整理得 2b2－k2＝4，代入 Δ 中，满足题意， 4 |b| 4k2－4b2＋16 1 |b| 1 4b2 2 AOB 的面积 S＝2· |AB|＝2|b|· （x1＋x2） －4x1x2＝ ＝ 2|b| ＝1. k2＋4 1＋k2 AOB 的面积为定值 1 x2 y2 3 3、已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离心率为 2 .双曲线 x2－y2＝1 的渐近线与椭圆 C 有四个交点， 以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 C 的方程。 解析 3 c 3 2 3 2 2 3 2 1 因为椭圆的离心率为 2 ， 所以 e＝a＝ 2 ， c ＝4a ， c ＝4a ＝a2－b2， 所以 b2＝4a2， 即 a2＝4b2.x2 x2 x2 x2 5x2 4 2 双曲线的渐近线方程为 y＝± x， 代入椭圆方程得a2＋b2＝1， 即4b2＋b2＝4b2＝1， 所以 x2＝5b2， x＝± 5 2 ? 4 2 ?2 b，y2＝5b2，y＝± b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆 C 的交点坐标为? b， b?，所以四边 5 ? ? 5 5 2 2 16 2 x2 y2 2 形的面积为 4× b× b＝ 5 b ＝16，所以 b ＝5，所以椭圆方程为20＋ 5 ＝1. 5 5二、求动点的轨迹方程 4 1．如图，设 P 是圆 x2＋y2＝25 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的投影，M 为 PD 上一点，且|MD|＝ |PD|. 5 (1)当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程； 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度． 5 解 (1)设 M 的坐标为(x，y)，P 的坐标