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思考题 （1）复函数的解析性与可微性有何异同？ （2）判断函数解析性有那些方法？ Department of Mathematics 第二章 解析函数 第一节 解析函数的概念 与柯西-黎曼方程 第二节 初等解析函数 第三节 初等多值函数 Department of Mathematics 第一节、解析函数的概念与 柯西—黎曼方程 一、复变函数的导数与微分 1.定义2.1 在定义中应注意: 2.微分 注1:可导与可微等价。 注2:可导必连接,但连续不一定可导。 例1 解 二.解析函数的概念及其简单性质 1.定义2.2 注1 注2 区域D内的解析函数也称为D内的全纯函数或正则函数 根据定义可知: 函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 2. 奇点的定义 但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点处解析. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多. 定义2.3 3.求导法则 反函数求导法则 复合函数求导法则 二、Cauchy-Riemann方程 1.可微的必要条件 证明 则 存在 存在 存在 注:定理条件是必要而非充分的 证 例2 2.可微的充要条件 证 (1) 必要性. (2) 充分性. [证毕] 3.可微的充分条件 4.解析的充要条件 5.解析的充分条件 注:柯西-黎曼方程是复变函数在一点可微的主要条件 例3 解 四个偏导数均连续 指数函数 例4 证明 例5 解 以上四个偏导数均连续, 即 例6 证 参照以上例题可进一步证明: 例7 证 根据隐函数求导法则, 根据柯西－黎曼方程得 作业 P89习题(一) P90 5 (2);6 (2); 7; 8 (1),(2) 本节结束 谢谢！
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