高考圆锥曲线几何专题摘要.doc

　第二部分 解析几何中的范围问题 一、“题设条件中的不等式关系”之运用 　例1、已知双曲线中心在原点，右顶点为A（1，0），点P、Q在双曲线右支上，点M（m，0）到直线AP的距离为1. （1）若直线AP的斜率为k，且 ，求实数m的取值范围； （2）当 时，△APQ的内心恰好是点M，求此双曲线方程. 解：（1）由已知设直线AP的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0 　　∵点M到直线AP的距离为1 　　∴ 　　　　　　　　 ① ∵ 　∴ ， 解得 或 ∴所求m的取值范围为 . （2）根据已知条件设双曲线方程为 　　当 时，点M的坐标为（ ）. 　　∵A(1,0)， ， 　　∵点M到直线AP的距离为1， 　　∴△APQ的内切圆半径r＝1， 　　∴∠PAM＝45°， 　　 （不妨设点P在第一象限） 　　∴直线PQ的方程为 ， 　　直线AP的方程为y＝x－1 　　因此解得点P的坐标为（ ） 　　将点P坐标代入双曲线方程 得 　　∴所求双曲线方程为 即 . 例2、设椭圆 的两个焦点是 ，且椭圆上存在点P使得直线 垂直. 　　（1）求实数m的取值范围； 　　（2）设L是相应于焦点 的准线，直线 与L相交于点Q，若 ，求直线 的方程. 　解：（1）由题设知 　　设点P坐标为 ，则有 　　 　　化简得 　　　　　　　　 ① 　　将①与 联立，解得 　　∵m0，且 　∴m≥1　即所求m的取值范围为 . （2）右准线L的方程为 　设点 　　∴ 　　　　　　　　　　 ② 　　（ⅰ）将 代入②得 　　 　　　　　　　　③ 　　又由题设知 ∴由③得 ，无解. 　　（ⅱ）将 代入②得 　　 　　　　　　　　 ④ 　　∴由题设得 　　由此解得m＝2 　　从而有 于是得到直线 的方程为 二、“圆锥曲线的有关范围”之运用 　　我们在学习中已经看到，椭圆、双曲线和抛物线的“范围”，是它们的第一几何性质。事实上，我们研究“范围”，一在于认知：认知圆锥曲线特性；二在于应用：“应用”它们来解决有关问题。 　　例、以 为焦点的椭圆 与x轴交于A，B两点 　　（1）过 作垂直于长轴的弦MN，求∠AMB的取值范围； 　　（2）椭圆上是否存在点P，使∠APB＝120°？若存在，求出椭圆离心率e的取值范围. 解：（1）基于椭圆的对称性，不妨设定 为右焦点，M在第一象限，则易得 ， 　　设A(－a,0)，B(a,0)，则∠AMB为直线AM到BM的角， 　　又 　　∴利用公式得 　　　　　　　　① 　　此时注意到椭圆离心率的范围：0e1， 　　∴ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　② 　　∴由①②得 　　由此解得 （2）设椭圆上存在点P使∠APB＝120° 　　基于椭圆的对称性，不妨设点P（x，y）在第一象限 　　则有x0，y0 　　∴根据公式得 　　整理得 　　　　　　　　　 ① 　　又这里 　　　　　　　　　　　　　　② 　　∴②代入①得 　　　　　　　　　　　 ③ 　　此时注意到点P在椭圆上，故得 　　　　　　 ④ 　　∴由③④得 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤ 　　由⑤得 　　　　　　　　　　　　　　 ⑥ 　　于是可知，当 时，点P存在且此时椭圆离心率的取值范围为 ； 　　当 时，点P不存在. 　　三、“一元二次方程有二不等实根的充要条件”之运用 　　例1、已知椭圆的一个顶点A(0,－1)，焦点在x轴上，且右焦点到直线 的距离为3，若斜率不为0的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使M、N关于过A点的直线对称，求直线l的斜率取值范围。 　　解：（既设又解）设右焦点F(c,0)，则由 　　又b＝1，∴ 　　∴椭圆方程为 　　　　　　　　　　　　　　 ① 　　设直线l的方程为y＝kx＋m　　　　　　　　　　　　 ② 　　 　　将②代入①得 　　由题意 　　　　　　　　　　 ③ 　　且 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④ 　　∴ ∴点P坐标为 　　又根据题意知M、N关于直线AP对称，故有 　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　⑤ 　　于是将⑤代入③得 　　 　　 因此可知，所求k的取值范围为 . 例2、已知椭圆C的中心在原点上，焦点在x轴上，一条经过点 且方向向量为 的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于点M，又 　　（1）求直线l的方程； 　　（2）求椭圆C的长轴长的取值范围. 解：（1）由题意设椭圆C的方程为 . 　　∵直线l的方向向量为 　　∴ 亦为直线l的方向向量∴直线l的斜率 　　因此，直线l的方程为 即 　　（2）设 　　将直线l的方程与椭圆方程联立，消去x得 　　 　　 　　由题设 　　 　　　　　　　　　　　　　　 ① 　　且