高考总复习椭圆的标准方程摘要.doc

高考总复习 椭圆的标准方程 一、本小节主要介绍以下几种题型 题型一：已知a，c，求椭圆方程 题型二：已知a，b，求椭圆方程 题型三：已知椭圆过两点，求椭圆方程 题型四：已知椭圆过一点和c，求椭圆方程 题型五：弦中点问题，求椭圆方程 题型六：平面图形的几何意义求椭圆方程 题型七：与准线相关的椭圆方程 题型八：与离心率有关的椭圆方程 题型九：与正余弦定理相关的椭圆方程 题型十：已知弦长求椭圆 题型十一：已知三角形面积最值求椭圆方程 典型例题 题型一：已知a，c，求椭圆方程 例1、已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，求椭圆的标准方程。 解：由PF1＋PF2＝2F1F2＝2×2＝4，得2a＝4.又c＝1，所以b2＝3. 所以椭圆的标准方程是＋＝1. 练习题： 1、已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝10，求椭圆的标准方程． 解：由椭圆定义知c＝1，∴b＝＝. ∴椭圆的标准方程为＋＝1. 2、已知，动点满足.求动点的轨迹的方程； 解：动点的轨迹的方程为 ； 题型二：已知a，b，求椭圆方程 例2、椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 解：（1）当为长轴端点时，，， 椭圆的标准方程为：； （2）当为短轴端点时，，， 椭圆的标准方程为：； 练习题： 已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程． 解：椭圆的方程为或者． 题型三：已知椭圆过两点，求椭圆方程 例3、焦点在坐标轴上，且经过点A(，－2)和B(－2，1) 解：设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1，(m＞0，n＞0且m≠n)． 由A(，－2)和B(－2，1)两点在椭圆上可得 即，解得 故所求的椭圆方程为＝1． 题型四：已知椭圆过一点和c，求椭圆方程 例4、求过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程． 解：因为c2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为＋＝1.由点(－3,2)在椭圆上知＋＝1，所以a2＝15.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 练习题： 1、（2009辽宁卷文、理）已知,椭圆C经过点A(1,),两个焦点为(－1,0),(1,0). 求椭圆C的方程; 解:由题意,c＝1,可设椭圆方程为, 因为A在椭圆上,所以, 解得b2＝3,(舍去).所以椭圆方程为. 题型五：弦中点问题，求椭圆方程 例5、已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为， 由，得， ∴，， ，∴， ∴为所求． 练习题： 1、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。 解：设椭圆的方程为，则┅┅① 设弦端点、，弦的中点，则 ， ， 又， 两式相减得 即 ┅┅② 联立①②解得， 所求椭圆的方程是 2、已知椭圆的一条准线方程是，有一条倾斜角为的直线交椭圆于两点，若的中点为，求椭圆方程. 解 设，则， 且，（1），（2） 得：，， ，，（3） 又，，（4）而，（5） 由（3），（4），（5）可得， 所求椭圆方程为 题型六：平面图形的几何意义求椭圆方程 例6、已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即． 从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，， 可求出，，从而． ∴所求椭圆方程为或 例7、已知定点A（－2，0），动点B是圆（F为圆心）上一点，线段AB的垂直平分线交BF于P.求动点P的轨迹方程； 解：（1）由题意：∵|PA|=|PB|且|PB|＋|PF|=r=8 ∴|PA|＋|PF|=8＞|AF| ∴P点轨迹为以A、F为焦点的椭圆 设方程为 例8、已知椭圆：的右焦点，过原点和轴不重合的直线与椭圆 相交于，两点，且，最小值为。求椭圆的方程； 解：设AB（）F（c,0）则 所以有椭圆E的方程为 例9、已知椭圆的中点在原点O，焦点在x轴上，点是其左顶点，点C在椭圆上且求椭圆的方程； 解：设椭圆的标准方程为 又∵C在椭圆上， ∴椭圆的标准方程为 练习题： 1、已知点A、B、C是椭圆E： 上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且，，如图。求点C的坐标及椭圆E的方程；解：(I) ，且BC过椭圆的中心O又点C的坐标为。A是椭圆的右顶点，，则椭圆方程为：将点C代入方程，得，椭圆E的方程为 题型七：与准线相关的椭圆方程 例10、已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线方程为．求椭圆的标准方