高量3-表象理论摘要.ppt

二、算符的表示 算符A作用于 上得出 在K表象中，我们希望找到与算符A对应的，把 直接变为 的办法。 用左矢 与上述两边作内积，并利用完备性关 系，有 即 可见，算符A在K表象中是变量 和 的双变量 函数，同离散的表象比较很类似。 三、连续表象下矢量和算符的记法 连续表象下函数 可理解为下标连续改变的 列矩阵, 而 可看成下标连续改变的方阵, 即 这样就把离散表象和连续表象的记法做到了完全 的一一对应。 今后为书写方便，约定 和 两种写法是完全 无区别而任意使用。这样当讨论表象变换，且K和 L中的一方或双方是连续表象时，讨论同样适用。 ﹟ 而所有的运算都是矩阵的乘法。对于连续表象，原 来对i的取和改为对k的积分。 §5.1 空间的直和 一、定义 现在由此构造直和空间 设矢量空间R1中的矢量是 ,算符是 矢量空间R2中的矢量是 ,算符是 §5 矢量空间的直和与直积 空间的直和 有时需要由两个已知的矢量空间 和 构造一个更 大的矢量空间R。这里我们讨论两种构造方法： 空间的直积 1. 矢量的直和 考虑一种“双矢量”作为数学对象，即取 空间中 的一个矢量与 空间中一个矢量放在一起，记作 分别称为矢量 的直和或 的直和。 这一类矢量及其叠加可以构成一个新的矢量空间。 2. 直和空间 定义这个空间中的三种运算 1）加法 在直和空间中加法单位元（0矢量）为 2）数乘 3）内积 如果认定不同空间中矢量的内积为0，则上述定 义说明内积可按分配律来展开。 很容易证明上述定义满足矢量空间的12个条件。 于是构造出来了一个新的矢量空间R，并称之为 和 的直和空间，表为 3. 算符的直和 用 中的算符A,B, …和 中的算符L,M, …去构 造直和空间中的算符 ，称为A, L两算符的直 和。其作用为 如果认定一个空间的算符作用到另一个空间的矢 量时得0矢量，则上式可按分配律来展开。 算符的加法和乘法可以按照上述定义得出。 证明第二式。 将其从左边作用于直和空间中任一矢量 上 ﹟ 一个空间的算符作用到另一个空间的矢量时得0矢量 二、直和空间的维数 设 为 维， 为 维。 现在，在 中取一组基矢 ， K表象 在 中取一组基矢 ，P表象 那么直和空间中的任意矢量 都可写成 根据直和空间加法的定义，直和空间中任意两个 双矢量形式的矢量的叠加仍可写成双矢量的形式。 注意：不能写为 的形式，否 则没法表示只有一个空间基矢的 情况。 若取直和空间的基矢为 则任意矢量 都可以写成上述 个基矢 的叠加，于是得出，直和空间的维数是两个空间维数之和，即 取 为3维，基矢为 若取 为2维，基矢为 这时直和空间为5维，其基矢为 这里省去了零矢量的空间编号。 在直和空间中，以上述基矢组为基矢的表象可以 称为KP表象或 表象。因为它们是算符 的 本征矢量。容易证明其正交归一性。 ﹟ 如双态模型中波函数的表示： 不同电子态的波函数所取格 点基矢的维数不一样 二、矢量和算符的矩阵表示 1. 设在 和 空间中， 和 的矩阵为（分别为K和P表象） 式中 而在直和空间中，矢量 的KP表象的矩阵 形式为 2. 算符的矩阵形式也可以同样讨论。 在 中，算符A, L的矩阵形式分别为 在直和空间中，算符 的矩阵形式成为 上式中， 有时在直和空间中说算符A，实际上是指 若R1,R2是大空间的两子空间，则只有当R1,R2除 外不含公共矢量时才可以谈二者的直和. 这是因为大空间的加法适用于所有矢量。 从R1,R2中各取一矢量构成的双矢量 与二者之和 是等价的，“ ”可以写成“+”。 直和空间不只包含R1