电动力学——矢量和张量详解.doc

矢量和张量 vectors and tensors 中山大学理工学院 黄迺本教授 (2005级,2007年3月) 如果不理解它的语言,没有人能够读懂宇宙这本书,它的语言就是数学. ——Galileo 经典电动力学的研究对象 ——电磁相互作用的经典场论 ——狭义相对论 ——电动力学的相对论协变性 主要数学工具 微积分、线性代数、矢量与张量分析、数学物理方程、级数等. 教材和参考书 教材：郭硕鸿《电动力学》（第二版）高等教育出版社，1997 参考书： [1]黄迺本，方奕忠《电动力学（第二版）学习辅导书》，高等教育出版社，2004 [2]J.D.杰克孙《经典电动力学》人民教育出版社，1978 [3]费恩曼物理学讲义，第2卷，上海科技出版社，2005 [4]朗道等《场论》人民教育出版社，1959 [5]蔡圣善等《电动力学》（第二版），高等教育出版社，2003 [6]尹真《电动力学》（第二版），科学出版社，2005 [7]Daniel R Frankl,ELECTROMAGNETIC THEORY,Prentice-Hall,Inc.,1986 矢量和张量 目录(contens) 1.矢量和张量代数(the algebra of vectors and tensors) 2.矢量和张量分析(the analysis of vectors and tensors) 3.函数( function) 4.球坐标系和柱坐标系 1 矢量和张量代数 在三维欧几里德空间中，按物理量在坐标系转动下的变换性质，可分为标量（零阶张量），矢量（一阶张量），二阶张量，及高阶张量.（见郭硕鸿，电动力学，P258）分为： 0 阶张量，即标量(scalar)，在3维空间中，只有30 = 1个分量.标量是 空间转动下的不变量. 例如，空间中任意两点之间的距离r，就是坐标系转动下的不变量.温度、任一时刻质点的能量、带电粒子的电荷、电场中的电势，等等,都是标量. 1阶张量，即矢量(vector)，在3维空间中，由31 = 3个分量构成有序集 合. 例如，空间中任意一点的位置矢量r，质点的速度v和加速度a,作用力F和 力矩M,质点的动量p和角动量L、电流密度J,电偶极矩p,磁偶极矩m,电场强度E,磁感应强度B,磁场矢势A，等等都是矢量. 2阶张量(tow order tensor)，在3维空间中，由32 = 9个分量构成有序 集合. 例如，刚体的转动惯量,电四极矩,等. 3阶张量，在3维空间中，由33 = 27个分量构成有序集合. 矢量表示 印刷——用黑体字母，如 r , A 书写——在字母上方加一箭头，如 正交坐标系的基矢量 正交坐标系(如直角坐标系,球坐标系,柱坐标系)基矢量的正交性可表示为 (1.1) 一般矢量A有三个独立分量A1，A2，A3，故可写成 (1.2) 矢量的乘积 两个矢量的标积与矢积，三个矢量的混合积与矢积分别满足 (1.3) (1.4) (1.5) (1.6) 并矢量与二阶张量 两个矢量A和B并置构成并矢量 (1.7) 它有9个分量和9个基，一般地.三维空间二阶张量也有9个分量，它的并矢量形式与矩阵形式分别为 (1.8) (1.9) 张量的迹是其主对角线全部元素(分量)之和： (1.10) 单位张量的并矢量形式与矩阵形式分别是 (1.11) (1.12) 因此(Ⅰ.1)式中的符号实际上是单位张量的分量. 对称张量与反对称张量 若，称之为对称张量，它有6个独立分量，若对称张量的迹为零，则它只有5个独立分量.单位张量是一个特殊的对称张量. 若，称之为反对称张量，由于，反对称张量只有3个独立分量. 任何张量均可写成一个对称张量与一个反对称张量之和，即，只需使，. 二阶张量与矢量点乘，结果为矢量.由(Ⅰ.1)式，有 (1.13) (1.14) 一般地 . 但单位张量与任何矢量点乘，均给出原矢量： (1.15) 并矢量与并矢量、或二阶