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Bezier方法将函数逼近同几何表示结合 起来,使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心应手。 典故 日本的穗板:天上掉下来 为边向量 剑桥的 Forest 常庚哲:中国的Bezier,曲面凸性 梁友栋:几何连续的浙大学派,梁叶郑马 刘鼎元:实用的几何连续条件 Hoschek的故事 刘汪佳话 纪念Bezier的CAGD专辑 3.2.1 Bezier曲线的定义和性质 其中,Pi构成该Bezier曲线的特征多边形,Bi,n(t)是n次Bernstein基函数: 0?=1, 0!=1 (3)权性 由二项式定理可知: (5)递推性。 即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的Bernstein调和函数线性组合而成。因为, (8)升阶公式 (9)积分 b)切矢量 因为, 所以当t=0时,P’(0)=n(P1-P0),当t=1时,P’(1)=n(Pn-Pn-1),这说明Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。 (5)变差缩减性。若Bezier曲线的特征多边形 是一个平面图形,则平面内任意直线与C(t)的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数,这一性质叫变差缩减性质。此性质反映了Bezier曲线比其特征多边形的波动还小,也就是说Bezier曲线比特征多边形的折线更光顺。 3.2.2 Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法 3.2.3 Bezier曲线的拼接 3.2.4 Bezier曲线的升阶与降阶 两种降阶格式 Forrest 格式 Farin格式 降阶逼近的文献 M. A. Watkins and A. J. Worsey, Degree reduction of Bézier curves, Computer Aided Design, 20(7), 1988, 398-405 胡事民、孙家广、金通光、汪国昭,Approximate degree reduction of Bezier curves, Tsinghua Science and Technology, No.2, 1998, 997-1000. 雍俊海、胡事民、孙家广、谭新宇,Degree reduction of B-spline curves, Computer Aided Geometric Design, 2001, Vol. 13, NO. 2, 2001, 117-127. 3.2.5 Bezier曲面 基于Bezier曲线的讨论,我们可以方便地可以给出Bezier曲面的定义和性质,Bezier曲线的一些算法也可以很容易扩展到Bezier曲面的情况。 (2)由于(3.1.12)式使得两张曲面片在边界达到 连续时,只涉及曲面 和 的两列控制顶点,比较容易控制。用这种方法匹配合成的曲面的边界,u向和v向是光滑连续的。实际上,该式的限制是苛刻的。 是否存在跟简单而合理的方法? 其中 (3.1.15) 或 (3.1.16) 也可以按(3.1.16) 式方案执行,先以v参数值对控制网格沿v向的m+1个多边形执行n级递推,得沿u向由m+1个顶点 构成的中间多边形。再以u参数值对它执行n级递推,得所求点 。 之所以有这样的算法,是因为 3.1.2.6 三边Bezier曲面片 2.三角域上的Bernstein基 单变量的n次的Bernstein基 由 的二项式展开各项组成。双变量张量积的Bernstein基由两个单变量的Bernstein基各取其一的乘积组成。而定义在三角域上的双变量n次的Bernstein基由 的展开式各项组成。 思考题: 如何计
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