高三数学思想方法专题成都37中吴兴国摘要.doc

《函数与方程、化归与转化思想》教案 知识梳理 函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；它包括显化、转换、构造、建立函数关系解题四个方面。 方程思想是从问题的数量关系出发，运用数学语言将问题中的条件转化为方程、不等式或它们的混合组，通过解方程（组）、不等式（组）或其混合组使问题获解。包括待定系数法，换元法、转换法和构造方程法四个方面。 函数思想与方程思想的联系十分密切。解方程f(x)＝0就是求函数y＝f(x)当函数值为零时自变量x的值；求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数y＝f(x)与y=g(x)的图像的交点或交点个数；合参数的方程f(x, y, t)=0和参数方程更是具有函数因素，属能随参数的变化而变化的动态方程。它所研究的数学对象已经不是一些孤立的点，而是具有某种共性的几何曲线。正是这些联系，促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换，丰富了数学解题的思想宝库。 化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想 等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法。 转化有等价转化与不等价转化 等价转化后的新问题与原问题实质是一样的不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。 应用转化化归思想解题的原则应是：化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化，常见的转化有 正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化。 1．显化函数关系 在方程、不等式、最值、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而使用函数知识或函数方法使问题获解． 【例1】在数列{an}中，a1＝15，以后各项由 an+1＝an－，求数列{an}的前n项和的最大值． 分析：由题设易知数列{an}为等差数列，其通项的一个充要条件形式就是 n的一次函数，an= An＋B，(A、B∈R）欲求前n项和Sn的最大值只需利用an的单调性转化为an＞o，an+1＜0即可获解． 解：∵ an+1=an－, ∴ d=an－1－an=－, ∵ a1=15, ∴ an=15－ (n－1), , , 解得（n∈ N）,即n＝23．故数列｛an｝的前23项的和最大． 点拨解疑：数列是定义在自然数集N上的特殊函数，等差、等比数列的通项公式，前n项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看成n的函数．在解等差数列、等比数列问题中，有意识地凸现其函数关系、从而用函数思想或函数方法研究、解决问题，不仅常能获得简便优秀的解法，且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平． 【变式】设等差数列{}的前n项的和为，已知。 求公差d的取值范围； 2、指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，并说明理由。 【分析】 ①问利用公式与建立不等式，容易求解d的范围；②问利用是n的二次函数，将中哪一个值最大，变成求二次函数中n为何值时取最大值的函数最值问题。 【解】① 由a＝a＋2d＝12,得到a＝12－2d，所以 S＝12a＋66d＝12(12－2d)＋66d＝144＋42d0， S＝13a＋78d＝13(12－2d)＋78d＝156＋52d0。 解得：－d－3。 ② S＝na＋n(n－1)d＝ 因为d0，S是关于n的二次函数，对称轴为。由－d－3得66.5，故正整数n＝6时S，所以S最大。 注：本题的另一种思路是寻求a0、a0 ，即：由d0知道aa…a，由S＝13a0得a0，由S＝6(a＋a)0得a0。所以，在S、S、…、S中，S的值最大 2．转换函数关系 在函数性态、曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中逆求参数的取值范围，按照原有的函数关系很难奏效时，灵活转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其它变元的函数关系，切人问题本质，从而使原问题获解． 【例2】(江西卷)若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(０，］成立，则a的最小值是(　).　　Ａ. ０　　　　Ｂ. －２　　　　Ｃ. －　　　　Ｄ. －３与x2＋ax＋1≥0在Ｒ上恒成立相比，本题的难度有所增加.　　思路分析：　　１. 分离变量，有a≥－(x＋)，x∈(０，］恒成立.右端的最大值为－，故选Ｃ.　　2. 看成关于a的不等式，由f(0)≥0