几何01.docVIP

1.??大学数学主要学习三维解析几何，?其精髓是二次曲面的不变量。 ????本质上说，这里所学的解析几何和高等代数是同一样东西得不通标书而已。?不过教师和教材很少会向初学者揭示两者的具体关系。? 2.??如果是基础数学专业的话，?还要进一步学习古典微分几何。就是用局部分析的方法研究曲线和曲面的几何性质--特别是曲率。 其精华之处可归结为高斯博奈特公式---“三角形三角之和为180度”只是一个简单特例。 3.?射影几何现在很少开设了。?以前是比较热的。?射影几何的表演舞台与传统几何背景舞台相比，只是多添了一个无穷远点。? 它不关系与度量有关的性质，?主要关心共点共线的问题。?本质上说，?射影几何可以归入代数几何范畴。?它所研究的性质本性上都是向量丛的性质（注：向量丛粗略的说，就是一族参考系。） 4.?作为大学选修课，?会介绍拓扑学这门课。?拓扑基本上是独立学科，?但是他和几何之关系实在是太密切了。比如上面说的高斯博奈特公式就是两者关系的一例。 拓扑学分为两类：?1.?点集拓扑2.代数拓扑。 点集拓扑比较容易上手，?但最有意义的是代数拓扑。 拓扑学可以说是所有数学之基础，?它的思想实在太重要了，有兴趣的人可以看一本科普小册子《拓扑学奇趣》，?写的超级精彩！ 2009-8-4 09:12 回复 ramanuja 88位粉丝 11楼写错字了，第三行“不通标书”改为“不同表述” 2009-8-4 09:13 回复 ramanuja 88位粉丝 12楼如果大家以为大学几何已经是几何的全部，那就大错特错咯。 其实这只是万里长征第一步，后面的路还远着呢。 进入硕士阶段，研究生首先要学习微分流形这门课。 微分流形这门课就是古典微分几何的进一步推广，?他考虑更加一般的几何对象。?基本上物理中涉及的几何结构都包括在里面了。 其主要精髓，就是内蕴的思想，?其代表人物就是天才数学家黎曼。?物理中所谓的“物理学定律表达应该和坐标选取无关”这一原理正是反映了这种内蕴的思想。? -------------- 对物理系的小朋友来说，?学习微分流形的基础是必须的。否则就无法真正理解相对论。 现在大家就可以明白，为啥相对论吧总是乌烟瘴气，?因为大多数人连这些基本的几何知识都没学懂，?怎么可能深刻理解相对论呢。 2009-8-4 09:24 回复 ramanuja 88位粉丝 13楼上面的几何学基础才是微分几何的真正基础。?后面还要学很多东西。?在此框架下，?微分几何又有很多细分。 比如进一步深入下去，就要学习黎曼几何--也就是带有度量的几何。（注：度量，粗略说就是你平时理解的长度）。 为了研究物理，你还需要学习辛几何等等。此外还有芬斯勒几何等等。 ?----------------- 如果你有足够兴趣，?你还会更往前走一步，?开始学习复几何。?复几何主要研究复流形。?换句话说，就是把我们遇到的实数坐标全部换成复数坐标等等。 你会发现里面充满了奇妙的东西，?很多优美的结论都蕴含其中。 复几何中最美妙的大概就是复代数几何了。?复代数几何了说白了就是研究系数是复数的多项式方程组的“根”--也叫做零点集。 2009-8-4 09:32 回复 ramanuja 88位粉丝 14楼走到这一步是不是到头了呢？错啦，?其实这还是我们走出的很小一步。?下面还有许许多多其他的方向供你探索。 为了研究复几何，我们还需要学习所谓的“Hodge理论”。?他把分析的东西和几何、拓扑等东西紧密联系起来。与此相关的就是世界七大猜想中最难得一个所谓的“霍奇猜想”。 再接下去，我们就要学到形变等等更为深奥的东西了--都是和物理密切相关，绝对不是数学家自己闹着玩的。 ?------------------- 这只是一条方向。?我们再说说其他方向。?前面说的代数几何是指复数上的，?假如把复数坐标换成其他稀奇古怪的数，?那就是更一般的代数几何。?再往下发展，你就会走到数论上去--算术代数几何。 现在的数论都是以代数几何为背景去研究的，他结合了其他许许多多深刻的数学知识。??现在要解决一个困难的数论问题，?仅仅靠初等数论知识是完全不行的--我们可以很肯定一定以及确定的说。 2009-8-4 09:44 回复 ramanuja 88位粉丝 15楼关于拓扑，我们再扯一下。?学习拓扑，必定要学同调群和基本群这两样东西。?大致说来，他们就是两把尺，?用来衡量两样几何物体是不是同一个老祖宗生的。 比如说，?为什么气球和救生圈如此不同？?用上面的两把尺，我们就可以说明他们不同在哪里。 拓扑学主要归功于庞加莱。其后又有很多数学家发展它