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几何直观：小学数学教学的视角蔡宏圣（江苏启东市中小学教师研修中心，江苏启东２２６２００）摘要：加强几何直观，是世界几何课程改革的方向。基于小学数学的教学，对几何直观中图形的理解可以宽泛些，而且更为重要的是能够表征数学关系，有些图也往往具有数学的模型性；几何直观是种意识，也是种技能与能力，更是种思维方式。几何直观的教学，要把握“感受价值”的目标，运用显性学习和氛围感受相结合的载体，处理好几何直观过程与几何直观结果的关系。关键词：几何直观；小学数学教学　中图分类号：Ｇ６２３．5 文献标志码：Ａ 文章编号：1000-0186（2013）05-0109-07 ?一、几何直观：“为什么”的追问（一）数学历史告诉我们，演绎不是几何学科的全部价值约公元前３００年，古希腊数学家欧几里得编撰了《几何原本》，用公理法建立了演绎的数学体系。它所提供的知识，用中国接触理性几何第一人徐光启的话来说， “不必疑，不必揣，不必试，不必改”，“以当百家之用”，它使“世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹（爱因斯坦语）”。因此，《几何原本》的手抄本，统御了几何学１８００多年，印刷本用各种文字出版１０００多版以上。如此深远的影响力，也使得人们的潜意识中把“几何”就等同于“演绎证明”，在相当长的时间里遮蔽了人们对几何学科特征的全面把握。俄国数学家罗巴切夫斯基从欧氏几何第五公设的否定命题出发，建构了一系列相互间不矛盾的逻辑体系，但找不到现实模型，他自称为“想象几何”。１８２６年２月，他在一次学术会议上宣讲了相关论文，但直线外的一点可以作多条平行线、三角形的内角和不一定是１８０度，如此等等的命题与大家在现实生活中的直观感受格格不入。比起逻辑来，直观感受才更为真实。因此，即便罗巴切夫斯基死后十多年，其学说一直被视为异端邪说。事情的转机发生在１９世纪７０年代前后，意大利数学家贝尔特拉米、德国数学家克莱因和法国数学家庞加莱等人先后在欧几里得空间中给出了非欧几何实在的直观模型，使得罗巴切夫斯基的几何断言，都变成了欧氏空间中可视的几何事实，非欧几何作为一种几何的合法地位才得到充分建立。逻辑终究还是依赖于直观在更多人的内心得以获得意义。几何学一词，是由希腊文的“土地”与“测量”这两个单词合成的，原是“测量土地”的意思。几何在本源上实在地表现出鲜明的直观性，而且在某些历史节点上———不仅仅在非欧几何，而且在负数、虚数、微积分等数学知识的发展过程中，几何直观图形都有力地推动了相关的数学知识获得了更广泛的认同和接纳。数学经过多层次的自反抽象获得充分的形式化，更高层次抽象的概念总是以上一层次相对直观的数学对象为基础进行理性建构的。这从根本上表明，数学家依赖于直观来推动对数学的进一步思考。现在许多数学理论（如拓扑、群论、微分几何、代数几何等），都可以通过几何的途径组织起来，或者从几何模型中抽象出来。现代数学的发展，使得其他的数学分支渐渐远离生活源泉，而几何仍然保持着与现实生活直接而又丰富的联系。这些因素都决定了几何课程的价值不仅仅在于学习证明，也需要重视和彰显几何固有的内在直观性，引导学生学习和体会如何直观化，而这也正是世界几何课程的发展潮流。（二）学习心理告诉我们，定义不是概念表征的主要形式指导数学教育的心理学理论，行为主义观点已经让位于认知主义理论。认知理论认为，学习是人脑内部复杂的信息加工与组织过程。我们可以通过对学习者外部行为的观察与剖析，去把握学习者内部的认识过程和思维机制。数学史已经告诉我们，直观即便没有证明的价值，但对于新的发现来说却是不可或缺的依托。这仅仅是个别数学活动中表现出的特点吗？有没有更为一般的规律性？一些数学家对自己以及其他数学家的反省式分析，让我们获得了更多的对教学活动有意义的启迪。著名的法国数学家雅克·阿达玛著有《数学领域中的发明心理学》，在其中花了很多篇幅研究数学家们是如何思考的。据他自己的剖析和调查，在数学及其他领域中从事脑力劳动的人中，有太多采用思维表象而不是概念定义的例子， “几乎所有的人不仅在思维过程中避免使用语言，甚至还避免使用代数符号或任何其他的固定符号”。英国数学家Ｇｒｉｆｆｉｔｈｓ在讨论数学中的直觉和领悟时曾提出，数学中最常用的思维媒介是数学结构的模型和实例，对于初学者来说，几何图形比代数符号更容易掌握和接受。［１］（４１）这些关于数学家们的研究可能还不全面，但它们的意义在于，思维的展开更倾向依据直观形象的成分展开，而不是文字或符号叙述的定义定理。一个概念的定义清晰地揭示了该概念的内涵，但并未因此呈现概念的可见对象，为了理解和掌握概念，需要有实在的直观支撑。比如，当教师说， “在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，简称为高”时，大多数学生可能会不解其意。但当教师同时在三角形里作出了高，大家看到了图