几种重要的随机过程new.docVIP

第三节 几种重要的随机过程 随机过程可以根据参数集、状态空间是离散还是连续进行分类，也可以根据随机过程的概率结构来进行分类。 一、二阶矩过程 定义2.3.1设随机过程，若对，的均值和方差均存在，则称为一个二阶矩过程。（有的书中以，定义二阶矩过程，可以证明两定义是等价的）。 存在 证明：“”由，必要性显然成立。 “”由= 正态过程、正弦波过程、随机电报过程和平稳过程等都是二阶矩过程。 由于：，若作，则有：，，即是零均值的二阶矩过程。而的协方差函数，。因此以后不妨假设二阶矩过程均值为零。 定理2.3.1 二阶矩过程的协方差函数存在。 证明：存在。 则：存在。 由不等式： 有： 即：存在。 则：存在。 定理2.3.2设是二阶矩过程的相关函数，则对， 。 证明： 若是实二阶矩过程，则：。 定理2.3.3 ，复数，为任意正整数，具有非负定性。即：。 证明： 注意：协方差函数的非负定性才是二阶矩过程的本质特性。 定理2.3.4设非负定，则必存在一个二阶矩过程（还可以要求是正态的）以为其协方差函数。（证明略） 二、正交增量过程 定义2.3.2设是零均值二阶矩过程，若对有：，则称为正交增量过程。 不妨设，且规定，取，， 则：当，，。 则： 当，有： 则： 三、马尔可夫过程 定义2.3.3若随机过程对任意的正整数及 ，其条件分布满足： （2.3.1） 则称为马尔可夫过程。 （2.3.1）式称为过程的马尔可夫性（无后效性）。若已知系统现在的状态，则系统未来的状态与系统过去的状态无关。 马尔可夫过程所有可能的取值组成的状态空间和参数集可以是连续的，也可以是离散的，甚至可以是既不连续也不离散的。 四、独立增量过程 定义2.3.4若对任意的正整数和，随机变量，，… ，是相互独立的，则称为独立增量过程。 特点：在任一时间间隔上状态的改变不影响任一个与它不相重叠的时间间隔上状态的改变。 后面要介绍的泊松过程和维纳过程都是独立增量过程。 注：由独立增量过程：，，独立，则： ，互不相关，。则：，则为正交增量过程。 五、平稳增量过程 定义2.3.5 若对任意的，，随机变量，服从相同的概率分布，则称是具有平稳增量的随机过程（增量一样，分布相同）。 的分布仅与有关，与起点无关，这种性质称为时齐性，或齐次性。 六、正态随机过程 定义2.3.6 若对任意正整数和，随机变量的联合分布是正态的，即： 其中： 为正交阵，为的逆阵，则称为正态过程——高斯过程。 正态过程由和完全确定。 七、泊松过程 定义2.3.7 设是取非负整数值的随机过程，且满足： （1）（初始条件） （2）它是独立、平稳增量过程 （3）在长为的任意区间内，事件发生的次数服从参数为的泊松分布。即，， （2.3.2） 则为泊松过程。 八、维纳过程 定义2.3.8 设实随机过程满足下列条件： （1） （2）它是独立、平稳增量过程 （3），随机变量具有概率密度 （2.3.3） 其中且为常数，则称为维纳过程，即布朗运动过程。 布朗运动，电流热噪声等均属于维纳过程。 显然~，则：， 若，易知： 一般地，维纳过程有 （2.3.4） 反过来，若正态过程以（2.3.4）为相关函数，则该过程具有独立、平稳增量性。 事实上，设， 则：，相互正交，而正态过程是零均值，且为二阶矩过程，则：，互不相关，即互相独立。 又考察的分布只与有关。 即增量是平稳的。 维纳过程具有下列性质： （1） （2）， （3）具有独立增量性 （4）具有平稳增量性。，的概率密度只与有关 （5）的方差与成正比， （6）增量具有正态分布。 九、平稳过程 定义2.3.9 若随机过程对，，，它的维分