高数4.4几种特殊类型函数的积分摘要.ppt

第四节 几种特殊类型函数的积分 一、 有理函数的积分 二 、可化为有理函数的积分举例 作业 返回 上页 下页 目录 第四章 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法 初等函数 求导 初等函数 积分 （见本节第一段） 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 本节内容: 两个多项式的商表示的函数. 有理函数的定义： 假定分子与分母之间没有公因式 这有理函数是真分式； 这有理函数是假分式； 有理函数有以下性质： 1）利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和. 例如，我们可将 化为多项式与真分式之和 2）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和 最简分式是下面两种形式的分式 （1）分母中若有因式 ，则分解后为 3）有理函数化为部分分式之和的一般规律： （2）分母中若有因式 ，其中 则分解后为 为了便于求积分，必须把真分式化为部分分式之和，同时要把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定系数法 例1 例2 通分以后比较分子得： 我们也可以用赋值法来得到最简分式，比如前面的例2，两端去分母后得到 例3 整理得 例4 求积分 解： 例2 例5 求积分 解： 例3 解: 原式 思考: 如何求 提示: 变形方法同例6, 并利用 第三节 例9 . 例6 求 注意： 有理函数的积分就是对下列三类函数的积分： 多项式； 主要讨论（3）积分 其中 并记 令 第三节 例9 结论： 有理函数的原函数都是初等函数. 解: 说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法. 例7（补充题） 求 解: 原式 注意本题技巧 按常规方法较繁 例8 （补充题） 求 点击看“常规解法” 第一步 令 比较系数定 a , b , c , d . 得 第二步 化为部分分式 . 即令 比较系数定 A , B , C , D . 第三步 分项积分 . 此解法较繁 ! 按常规方法解: 设 表示三角函数有理式 , 令 万能代换 t 的有理函数的积分 1. 三角函数有理式的积分 则 令 例9 （课本例5）求 解：令 则 例10（补充题） 求 解： 一直做下去，一定可以积出来，只是太麻烦。 由此可以看出，万能代换法不是最简方法， 能不用尽量不用。 令 令 被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如: 令 2. 简单无理函数的积分 解: 令 则 原式 例11（课本 例7）求 解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的 最小公倍数 6 , 则有 原式 令 例12 求 （自学课本 例8） 解: 令 则 原式 例13 求 （自学课本 例9） 本节小结 1. 可积函数的特殊类型 有理函数 分解 多项式及部分分式之和 三角函数有理式 万能代换 简单无理函数 三角代换 根式代换 2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 . 简便 , 习题4-4 2，3，6，7 思考与练习 1. 如何求下列积分更简便 ? 解: （1） （2） 原式 解法 1 令 原式 2. 求 * * * *