高数A第七章微分方程摘要.ppt

微分方程 第七章 微 分 方 程 一、微分方程的概念 二、一阶微分方程 2.齐次方程 四、线性微分方程的解的结构 五、二阶常系数线性微分方程 将其代入上方程, 得 故有 特征方程 特征根 1.齐次线性微分方程 ? 有两个不相等的实根 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 特征根为 ? 有两个相等的实根 一特解为 得齐次方程的通解为 特征根为 ? 有一对共轭复根 重新组合 得齐次方程的通解为 特征根为 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例1 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例2 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例3 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解. (见下表) * 微分方程:含有未知函数的导数或微分的方程. 例 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数. 微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. (1)通解: 微分方程的解中含有独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同. (2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 可化成形如： 解法： 分离变量法 1. 可分离变量的微分方程 例1 求解微分方程 解 分离变量 两端积分 例2 求微分方程的满足初始条件的特解 练 习 题 练习题答案 解法： 作变量代换 代入原式 可分离变量的方程 形如： 例 1 求解微分方程 微分方程的解为 解 例 2 解方程 解 微分方程的解为 练习：解微分方程 答案： 标准形式: 称为齐次的. 称为非齐次的. 3、线性微分方程 例如 线性的; 非线性的. 齐次方程的通解为 （1） 线性齐次方程 解法——常数变易法 (使用分离变量法) （2） 的解，则有 为方程 积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为: 对应齐次方程通解 非齐次方程特解 解 例1 例2 如图所示，平行于 y 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 . 两边求导得 解 解此微分方程 所求曲线为 练习：解微分方程 答案： 1、 型 方法：两边积分 例 1 三、可降阶的微分方程 特点：右端不显含因变量y 解法： 2、 型 则 例 2 练习：求微分方程的解 特点：右端不显含自变量 x 解法： 3、 型 解 代入原方程得 原方程通解为 例 3 练习：求微分方程的解 1.二阶齐次方程解的结构: 问题: 说明: 例如 2.二阶非齐次线性方程的解的结构: 解的叠加原理