高数第二节函数极限摘要.pptVIP

1.2 函数极限 这一节, 我们以无穷小的概念为工具介绍一般 记作 或 A 为常数. 的极限理论. 1.2.1 函数极限的概念 定义1.6 设 在点 的某个空心邻域内有定义, 使用数学语言进行描述, 定义1.6可以写为: 如果 在定义1.6, 如果令 则有 设 在点 的某个空心邻域内有定义, A 为常数. 存在点 的空心邻域 的右极限与左极限. 分别称为 f (x)在点 由定义1.6, 特别地, 我们有下面两个简单的极限: 例1 证明 不存在. 左右极限存在但不相等, 证 所以, 不存在. 例2 用定义验证: 证 因 所以 故 而 例3 证明: 当 证 因 不妨设 由 所以 故 例4 用定义验证: 证 因 不妨设 于是 故 所以 例5 证明 其中 为常数. 证 即 当 时, 结论显然成立. 令 则 于是 所以 先证 的情形. 当 时, 令 而 同样有 几个极限不存在的例子: 因 因 但要注意到: 1.2.2 函数极限的性质与运算 但所有的结果都可以平行推广到一般情况. 定理1.9 (唯一性) 本节主要针对 的情形讨论极限的性质与运算, 证 反证法. 若 存在, 则极限值是唯一的. 于是 为无穷小, 与 矛盾. 则 都是无穷小. 定理1.10 (局部有界性) 若 存在, 则 在 x0的某个空心邻域 证 设 所以, 在该空心邻域内有界. 内有界. 因为 在点 x0 某空心邻域内有界, 定理1.11 (局部保号性) 证 只需证第一部分. 与 A 同号. 不妨设 1. 设 且 因 所以 为无穷小. 即 于是 1.2.3 极限的运算法则 定理1.12 (极限四则运算法则) 则有 证 由 令 设 所以 于是, 有 所以 推论1 如果 即: 常数因子可以提到极限记号外面. 所以 则存在 x0的某个空心邻域, 使得 推论1.2 (局部保序性) 由定理1.11和定理1.12, 立即有下面的推论 则在 x0的某个空心邻域内有 2. 若在 x0的某个空心邻域内有 则 则 推论2 如果 有 利用极限的运算法则和上节的两个结果 我们可以求解一些简单的极限问题: 对于的多项式函数 例6 求 解 由函数商的极限法则, 有 一般地, 设 则商的法则不能使用. 则当 时, 有 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系, 得 例7 求 解 消去零因子法 时, 分子、分母的极限都是零. 例8 求 解 时, 分子、分母的极限都是无穷大, 例9 求 分子、分母同时除以 x 的最高次幂. 一般地, 当 为非负整数时, 有 解 先作恒等变形, 使和式的项数固定, 再求极限. 和式的项数随着n在变化, 原式 不能用运算法则. 方法: 例10 求