高数第一章第五节摘要.pptVIP

上页 下页 返回 结束 第五节 极限运算法则 二、极限四则运算法则 四、小结 思考题 一、无穷小的性质 三、复合函数的极限 一、无穷小的运算性质 * 【定理1】 有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【证】 考虑两个无穷小之和，且仅证 的情形 1）和的性质 * 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. n个 【例如】 非无穷小 * 【证】 【定理2】有界函数 与无穷小 的乘积是无穷小. 【分析】 （仅证 时） （注：M为定值） 2）乘积的性质 设 又设 即 当 时, 有 取 则当 时 , 就有 【证完】 故 即 是 时的无穷小 . * 【推论1】 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 【推论2】 常数与无穷小的乘积是无穷小. 【推论3】 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小 【例1】 【解】 由定理 2 可知： 【说明 】 y = 0 是 的渐近线 . 二、极限的运算法则 * 【定理3】 【证】 由无穷小运算法则,得 以下符号lim表示自变量的同一变化过程 推广到有限项 【声明】 1.函数极限运算法则 * 由第三节定理3*得 当x 满足一定条件时，我们有 * 【推论1】 常数因子可以提到极限记号外面. 【推论2】 有界， 函数和,差,积,商的极限等于极限的和,差,积,商. * 【定理4】 设数列 【注意】 定理3及其两个推论成立的前提条件是： “f (x)与 g(x) 的极限存在” 若 则 2.数列极限运算法则 * 【定理5】 【证】 令 则 由定理3可知 由第三节函数极限的局部保号性的推论可知 【证完】 3.极限保序性 * 【教材例2】 【解】 求极限方法举例 * 【小结】 需特别注意 * 【解】 商的法则不能用 【例3】 【方法】无穷大的倒数法 x = 1 时 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因 * 【解】 【例4】 【方法】消去零因子法 * 【例5】 【解】 * 【小结】 以分子、分母中自变量的最高次幂除分子、分母,以分出无穷小,然后再求极限的方法. 【无穷小量分出法】 分式求极限一般有如下结果： 为非负常数 ) * 【例6】 【解】 先变形再求极限. 【方法】先变形再求极限法 三、复合函数的极限法则 * 1.【定理6】 * 【例7】 【解】 【方法】先有理化后可变为定式 三、小结 * 1. 【极限运算法则】 (1) 无穷小运算性质 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则 注意使用条件 * (4) 复合函数极限求法 设中间变量 (2)利用无穷小运算性质求极限 (3)利用左右极限求分段函数极限 2. 【求函数极限的方法】 (1) 多项式、分式函数极限求法 1) x→x0时, 用代入法 ( 分母不为 0 ) 3) x→x0时, 对 型 , 消去无穷小公因子 4) x→∞时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头” ——无穷小因子分出法 2) x→x0时, 对 型 , 无穷大的倒数法 * 【思考题】 在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？为什么？ * 【思考题解答】 没有极限． 假设 有极限， 有极限， 由极限运算法则可知： 必有极限， 与已知矛盾， 故假设错误． 上页 下页 返回 结束