高数第一章极限的运算法则摘要.ppt

高等数学 第五节 一、 无穷小运算法则 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 例1. 求 二、 极限的四则运算法则 定理 4 若 定理4 . 若 说明 . 例2 设n 次多项式 例3 求 例4 设有分式函数 例6 求 例7 求下列函数的极限 3 . 求 例8 求 一般有如下结果： 定理5 . 若 例9 求下列无穷小的和的极限 高等数学 三、 复合函数的极限运算法则 例10 求 例11 . 求 例12 求下列函数的极限 例13 求 例14 例15. 试确定常数 a 使 例16 内容小结 思考及练习 作业 解 令 已知 ∴ 原式 = 说明: 若定理中 则类似可得 解: 方法 1 则 令 ∴ 原式 方法 2 （分子有理化） 解法 1 原式 = 解法 2 令 则 原式 = 试确定 a , b . 解： 此题分母的极限为0， 当 时， 可见分子的极限一定为0，则有 解 : 令 则 故 因此 解: 利用前一极限式可令 再利用后一极限式 , 得 可见 是多项式 , 且 求 故 * 主讲教师: 王升瑞 第五讲 第一章 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小的运算法则 极限的运算法则 利用极限的定义可以验证一个函数在某一极限过程 是否以常数A为极限,一般来说是比较繁琐的。但今后遇 到的最多的问题是判断一极限过程中函数有没有极限? 如果有如何求出极限,这往往是通过一些已知的简单极 限去寻求比较复杂的函数的极限,这就要用到极限的运 算法则。 本节介绍的几个定理,不仅可以用来求一些函数的 极限,也可以用来判断某些函数的极限是否存在,并可以 导出其他一些运算法则.学习时注意结论和结论的条件. 极限的运算法则 时, 有 定理1 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如， 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 证: 设 又设 即 当 时, 有 取 则当 时 , 就有 故 即 是 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 定理2 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 解: 利用定理3 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 . 自变量趋向无穷大时函数的极限 自变量趋向无穷大时函数的极限 自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 自变量趋向无穷大时函数的极限 自变量趋向无穷大时函数的极限 自变量趋向无穷大时函数的极限 自变量趋向无穷大时函数的极限 则有 定理 4 若 (1) (2) (3) 则有 证: 因 则有 (其中 为无穷小) 于是 由定理 1 可知 也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 . (1) 提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . (2) 为无穷小 且 B≠0 , 则有 证: 因 有 其中 设 无穷小 有界 因此 由极限与无穷小关系定理 , 得 为无穷小, (3) 推论2 . 极限存在的函数与无穷小的乘积是无穷小. 定理 4 有如下几个常用的推论 . 推论 3 . ( C 为常数 ) 推论 4 . ( n 为正整数 ) 推论5 . 如果 时， 极限都存在， 即有限个函数代数和的极限等于它们的极限的代数和； 有限个函数乘积的极限等于它们的极限的积。 则 试证 证: 解 因为当 时， 当 时， 令 ，则 所以 x = 3 时分母为 0 ! 其中 都是 多项式 , 试证: 证: 说明: 若 不能直接用商的运算法则 . 例5 若 解: x = 1 时, 分母 = 0 , 分子≠0 , 解: 时, 分子 分子分母同除以 则 分母 “ 抓大头” 解: 解: 时, 分子 分子分母同除以 则 分母 “ 抓大头” 原式 解: 分子分母同除以 为非负常数 ) ( 如P41 例5 ) ( 如P42 例7 ) ( 如P42 例6 ) 则有 提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理 4 直接得出结论 . 解: 主讲教师: 王升瑞 第六讲 定理6. 设 且 x 满足 时, 又 则有 证: 当 时, 有 当 时, 有 对上述 取 则当 时 故 ① 因此①式成立.