高数第一章无穷小比较摘要.pptVIP

第七节 引例 当 一、无穷小的阶 二、等价无穷小 例1. 证明: 当 例2. 求 例3. 求 高等数学 定理1 . 设 例4. 求 例6 求 例7 求 例8 求 说明: 若 定理2. 极限运算法则 (2) 和差代替规则: (3) 因式代替规则: 例13 例14 求 内容小结 2. 等价无穷小替换定理 (2) 和差代替规则: 作业 2（14） 2（16） 6. * 第一章 一、无穷小的阶 二、等价无穷小 无穷小的比较 都是无穷小, 但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 若 则称 ? 是比 ? 高阶的无穷小, 若 若 设 是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称 ? 是比 ? 低阶的无穷小; 则称 ? 是 ? 的同阶无穷小; 定义1 如： 故 时 是关于 x2 的同阶无穷小。 例如 , 当 时 定义2 若 或 设 是自变量同一变化过程中的无穷小, 则称 ? 是 ? 的等价无穷小, 记作 例如 , 当 ～ 时 ～ ～ 又如 ， 故 时 ～ ～ 时, ～ 证: ～ 解: 原式 说明: 当 时, 有 解: 令 则 原式 说明: 当 时, 有 主讲教师: 王升瑞 第八讲 且 存在 , 则 证: 例如, 此定理称为等价无穷小的替代定理。 解: 例5 求 解 解： 利用数列极限与函数极限的关系 解 一般，若 则 解 则有 例9. 求 解: 原式 ～ ～ 证: 即 即 例如, ～ ～ 故 设对同一变化过程 , ? , ? 为无穷小 , 无穷小的性质, (1) 和差取大规则: 由等价 可得简化某些极限运算的下述规则. 若 ? = o(?) , 例9 证明 例10 例如, 例11 求 解 原式 界, 则 例如, ? 例12 解 解: 原式 = 解: 原式 = 1 (2000考研) 1. 无穷小的比较 设 ? , ? 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 ? 是 ? 的高阶无穷小 ? 是 ? 的低阶无穷小 ? 是 ? 的同阶无穷小 ? 是 ? 的等价无穷小 ? 是 ? 的 k 阶无穷小 ～ ～ ～ ～ ～ (1) 和差取大规则: 若 ? = o(?) , 常用等价无穷小 : (3) 因式代替规则: 界, 则 P63 1口答；2单号；3; 4 ；5；6. 2010考研