高数第一章摘要.ppt

例3 证明 对于任意给定 因为 所以要使 只要 例4 证明 证 对于任意给定的正数 因为 欲使 只要 2、左、右极限 记作 1）右极限 函数y=f(x)在实数集 上有定义， 设对某个常数h0, * * * * 高 等 数 学 它是学习其它专业课所必须的基础知识. 函数 极限 连续 高等数学是一门基础理论课. 所用的工具是极限. 也是解决科学技术问题的重要工具. 高等数学研究的对象是函数, 函数 以a为中心任何开区间，称为点a的邻域，记作 U(a,δ)={x | |x- a|δ} 一.预备知识 1.集合 2.区间 3.绝对值 4.邻域 去心邻域:U(a,δ)={x | 0|x- a|δ} 设有两个变量x与y,如果变量x在其变化范围D内任取一个确定数值时，变量y按照一定的规则有唯一确定的数值和它对应，则称变量y是变量x的函数， 1.定义 记作y=f(x) 二.函数概念 注意：单值、多值函数 3.求定义域 2.分段函数 4.性质 由两个或两个以上数学式子表示的函数 (如:符号函数 y=sgnx 等) 单调性、有界性 奇偶性、周期性 1.反函数 记作 x=f -1(y), 定义.给定函数y=f(x), 其定义域为D,值域为W, 如果对于W中任一值y=y0, 必定在D中有唯一的x0,使f(x0)=y0,我们说在W上确定了y=f(x)的反函数. 由F(x,y)=0 确定的函数y=f(x)， 是x的隐函数 2.隐函数 三.反函数、隐函数、复合函数 3.复合函数 则通过变量u ,y就是x的函数,称这个函数为y=f(u)及u= g(x)复合而成的复合函数. 记作y=f(g(x)) 而u= g(x)称为中间变量 设y是u的函数y=f(u)，而u= g(x)又是 x 的函数.且u= g(x)的值域包含在y=f(u)的定义域内， 1.基本初等函数(六种) （1）常数函数 （4）对数函数 （2）幂函数 （5）三角函数 （3）指数函数 （6）反三角函数 四. 初等函数 2.初等函数 由基本初等函数通过有限次四则运算及有限次复合步骤所构成的且能用一个解析式子表示的函数 均为初等函数 研究复合函数，经常需要将一个复合函数分解成几个简单函数的形式。 例 分解复合函数 为几个简单函数的形式 五.极坐标 1.极坐标系 平面内任取一定点o, 过o引射线ox,再规定一个长度单位及角度的正方向（通常取逆时针方向），这样就确定了一个极坐标系。其中o叫做极点， ox叫做极轴 o x P(r,θ) θ r 如图平面内点P, (r,θ)为极坐标。其中r叫做极径， θ 为极角 2.极坐标方程 曲线上点的极坐标r与θ之间的关系可以用r = r(θ) 表示。称为曲线的极坐标方程 如：r = a 极点为圆心半径为a的圆。 r = 2acosθ (a,0)为圆心半径为a的圆。 θ=π/3 为过极点且与极轴夹角为π/3的直线 等速螺线（阿基米德螺线） θ=ωt, r = r0+vt 令 a=v/w 则 r = r0+aθ o x P(r,θ) M r 3.极坐标与直角坐标系的关系 x = rcosθ, y = rsinθ , r2 =x2+y2 , tanθ=y/x o x P(r,θ) θ r y x y (x, y) 极限 1、数列 如:1, 2 , …, n , … 1 , -1 , … , (-1)n-1 , … 0.1 , 0.01 , … , 0.1n , … 等都是数列 第n 项 xn 叫作通项 一、数列极限 称为数列，记作{xn} 按一定顺序排列的可列个数 x1 , x2 , …, xn …, 2、数列的极限 定义1.给定数列{xn}, 如果当n无限增大时 {xn}无限趋近于某个确定的常数a, 则称a为n趋于无穷时数列{xn}的极限 或者称数列{xn}收敛于a, 记作 或 定义2 使得当nN时，恒有|xn-A|ε 则称常数A为数列xn当n→∞时的极限. 或(xn→A, n→∞) 记为 若数列xn没有极限,则称数列xn是发散的 设 A 为常数， 如果对于任意给定的正数ε0 (不论多么小)， 总存在正数N， 几何意义： 则数列xn 收敛于A意味着,不管ε多么小 总存在着整数N,使当nN时所有的点xn 若将数列的项xn用数轴上的对应点表示， 都落在点A的ε邻域(A-ε, A+ε)之内， 而只有有限个(至多N个)落在这个邻域之外， 于是点A就是点列xn 凝聚中心 例1 证明 思考：数列是否有两个极限，为什么？ 证: 因为 要使 若取正整数 由定义可以证明。