1.2.1任意角的三角函数示范教案(人教a必修4).doc

1.2.1任意角的三角函数示范教案(人教a必修4) 1.2.1任意角的三角函数 教学目的： 1、 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解任意角的余切、正割、余割的定义； 2、 掌握三角函数值的符号的确定方法； 3、 记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）； 4、利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值。 教学重点、难点 重点：三角函数的定义，各三角函数值在每个象限的符号，特殊角的三角函数值 难点：对三角函数的自变量的多值性的理解，三角函数的求值中符号的确定 教学过程： 一、复习引入： 初中锐角的三角函数是如何定义的？ 在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依 次为sinA? aba ,cosA?,tanA? ． ccb 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。 二、讲授新课： 1．三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(x,y)， 它与原点的距离为r(r?? ?0)，那么 yy叫做α的正弦，记作sin?，即sin??； rr xx （2）比值叫做α的余弦，记作cos?，即cos??； rr yy （3）比值叫做α的正切，记作tan?，即tan??； xx （1）比值 说明：①α的始边与x轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α 的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置； ②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点P(x,y)在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当?? ? 2 ?k?(k?Z)时，α的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于 0，所以tan?? y 无意义； x 2．三角函数的定义域、值域 注意： (1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合. (2) α是任意角，射线OP是角α的终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与ox转了几圈，按什么方向旋转到OP的位置无关. (3)sin?是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余几个符号也是这样. 3．三角函数的符号 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： y 对于第一、二象限为正（y?0,r?0），对于第三、四象限为负（y?0,r?0）； rx ②余弦值对于第一、四象限为正（x?0,r?0），对于第二、三象限为负（x?0,r?0）； ry ③正切值对于第一、三象限为正（x,y同号），对于第二、四象限为负（x,y异号）． x ①正弦值 说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。 4．诱导公式 由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。 即有： sin(??2k?)?sin?， cos(??2k?)?cos?，其中k?Z． tan(??2k?)?tan?， 这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题． 5．当角的终边上一点P(x,y )?1时，有三角函数正弦、余弦、正切 值的几何表示——三角函数线。 1．单位圆：圆心在圆点O，半径等于单位长的圆叫做单位圆。 2．有向线段： 坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。 3．三角函数线的定义： 设任意角?的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点 P(x,y)，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角? 当角?的终边不在坐标轴上时，有向线段OM?x,MP?y，于是有 的终边或其反向延长线交与点T. sin?? yr?y1?y?MP， cos??xx r?1?x?OM， tan??yx?MPOM?AT OA ?AT． 我们就分别称有向线段MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线。 三、典型例题 例1．已知角α的终边经过点P(2,?3)，求α的三个函数制值。 解：因为x?2,y?? 3，所以r? ?，于是 sin?? yr??? 13；cos??xr?? 13； tan??y3 x??2 ； 例2．求下列各角的三个三角函数值： （1）0； （2）?；（3） 3? 2 ． 解：（1）因为当??0时，x?r，y?0，所以 sin0?0，cos0?1，tan0?0， （2）因为当???时，x??r，y?0，所以 sin??0，cos???1，tan??0， （3）因为当??3? 2 时，x?0，y??r，所以 sin3?2??1，cos3?3?