第5章插值法1.ppt

注：通过解上述方程组(3)求得插值多项式 Pn ( x ) 的方法并不可取. 这是因为当n 较大时解方程组的计算量较大, 而且方程组系数矩阵的条件数一般较大(可能是病态方程组), 当阶数n 越高时, 病态越重 . 为此我们必须从其它途径来求Pn( x )： 不通过求解方程组而获得插值多项式 不同的基函数的选取导致不同的插值方法 Lagrange插值 Newton插值 基本思想:在n 次多项式空间Pn中找一组合适的基函数 ?0(x),?1(x),…, ? n( x ),使 Pn( x )=a0 ?0(x) +a1 ?1(x) +…+an ? n(x) n = 1 可见 L1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线. 求 n 次多项式 使得 已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 l0(x) l1(x) 5.2 拉格朗日插值 这种插值称为线性插值, 其中 l0( x ), l1( x )称为线性插值的基函数, 它们是由插值节点 x0, x1唯一确定的, 且满足: n = 2 L2(x) 是过 ( x0 , y0 ) , ( x1, y1 ) 和( x2, y2 ) 三点的次数不超过 2 次的多项式, 几何上看即为抛物线. 构造 L2(x) 如下, 令: 代入 可得 l2(x) l0(x) l1(x) 同理可得 于是有 这种插值称为二次插值, 或抛物插值. 可以验证 L2(x)满足插值条件: L2(xi) = yi (i=0,1,2). 其中 l0( x ), l1( x )和l2( x )称为二次插值的基函数, 它们是由插值节点 x0, x1, x2唯一确定的, 且满足 二次插值函数： 推广到一般情形,则有一般的Lagrange插值公式. 一、插值基函数 De f : 若n 次多项式 在 n +1个插值节点 上满足插值条件 则称这 n +1 个 n 次多项式 为插值节点 上的n 次插值基函数. 下建立其具体表达式： 由i≠k 时, 知 为 的零 点, 故设 由 得 因此 与 节点有关，而与f 无关 基函数的性质 Prop1: 基函数 为由插值节点 唯一确定的n 次函数. Prop2: 基函数的个数与插值节点个数相同. 可以证明函数组 l0(x)，l1(x)，…, ln(x) 在插值区间[a , b]上线性无关, 所以这 n+1个函数可作为Pn 的一组基函数, 称为Lagrange插值基函数。 令： 二、Lagrange 插值多项式 则 Ln(x)是次数不超过 n 的多项式, 满足插值条件Ln(xi) = yi , 称其为Lagrange插值多项式, 或Lagrange插值公式。 注: (1) 若被插函数 , 则得插值基函数的一个重要性质 (2) Lagrang插值只要求节点互异, 而与大小次序无关。 方便记法： 记： 则 因此 可写成如下形式 例1：已知 分别用线性插值和二次 插值求 的近似值。 (2) 二次插值 注：这里线性插值只选取两个相近点。 解: (1) 线性插值 例2 已知 的函数值 见表5-2，求 解 1） 用线性插值计算，因为 在 之间，故取两点 ， ，则有线性插值 的近似值. 2） 用过三点的抛物插值计算，有 所以 【注】 因为 的近似值为0.6087614， ， 所以抛物插值比线性插值精确. 5.2.3 插值余项与误差估计 上用 近似 ，则其截断误差为 ，也称为插值多项式的余项。 若在 关于插值余项估计有下面定理. 在 上的 阶导数 连续， 在 内存在, 是 在 处的 Lagrange插值多项式，则对 中每一个点 ，存在 的点 使 其中 【定理2】 设函数 次 ， （5.8） 依赖于 证明 若 是节点，公式（5.8）两边均等于零，结论成立. 由于在 处