第6章二次型14.ppt

作业： P159 1（2）, 4（1），7, 8 作业 P166 1（2），2, 5, 6 即知A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型. 求得其特征值 【方法二】 例6.16 设A为正定矩阵，证明 证明 因为A为正定矩阵，所以A的特征值全大于零. 设 是A的所有特征值，则A+E的特征值为 从而 例6.17 设A=(aij)是正定矩阵，证明aii0(i=1,2,…,n). 证明 因为A为正定矩阵，则对于任意n元实向量x≠0，有 xTAx0，特别地，取 这里 是第i个 分量为1，而其余的分量为0的n元列向量，则有 这是一个必要而非充分条件 与矩阵 合同的矩阵是( ) 例6.18 A特征值是两正一负。 例6.19 设 ，且A的秩为n，证明：ATA正定. 证明 由于(ATA)T=ATA，故ATA为n阶的实对称矩阵，令以 ATA为矩阵的二次型的f(x)，则： 且 ，由于秩A=n， 齐次线性方程组Ax=0只有零解，从而 ， 即 故f(x)为正定二次型，从而矩阵ATA正定. 作业： P183:1（3），2（2），3（3） 习题6： 5（1）， 6，14 由对角化的做法知 于是 注：题中p2,p3的选取不惟一，因此C的构造也不惟一，比如还可以取到正交矩阵。 称为n维(或n元)的二次型. 含有n个变量x1, x2, …, xn的二次齐次函数 如三维的二次型为: 关于二次型的讨论永远约定在实数范围内. 定义6.9（二次型） 6.3 二次型及其矩阵表示 二次型的矩阵表示 对称 一般地，对于n 维的二次型 上式称为二次型的矩阵表示. 也常记为 其中 任给一个对称矩阵A,令f(x)=xTAx显然可唯一地确定一个二次型. 反之,任给一个二次型 f 可找到对称矩阵A使得f(x)=xTAx(如前). 而且对称矩阵A是唯一. 对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型; 对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.记作r ( f ). n维二次型与n阶对称矩阵之间是一一对应的关系． 写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求 f 的秩r(f)。 解 问： 在二次型f(x)=xTAx中,如不限制 A对称, A唯一吗? 例6.9 只含平方项的二次型 称为二次型的标准形(或法式)。 定义6.10（二次型标准形） 平方项系数只在1,-1,0中取值的标准形 称为二次型的规范形。（见书第五节二次型的规范形） 设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C，使 则称A与B合同. 定义6.11（矩阵合同） 矩阵的合同： 定理 设A为对称矩阵，且A与B合同，则 注：合同仍然是一种等价关系 记作 (1) 自反性：A与A合同； (2) 对称性：若B与 A合同，则A与B合同; (3) 传递性：若A与B合同, B 与C合同，则A与C合同. 矩阵的合同等价相当于二次型可以互化(也称二次型等价). 性质6.5 在实对称集合中，合同关系是一个等价关系，即 6.4 化二次型为标准形 目的 对给定的二次型 找可逆的线性变换(坐标变换)： 代入(1)式，使之成为标准形 称上面过程为化二次型为标准形。 (其中D为对角矩阵) 注意到CTAC与D都是对称矩阵，而二次型与对称矩阵是一一对应关系，故“化二次型为标准形”又等价于 对给定的对称矩阵A，找可逆矩阵C，使 矩阵形式 CTAC=D为对角矩阵 由第二节所学知识，存在正交矩阵P，可以实现上述操作. 二次型化标准形又相当于把一个对称矩阵合同变换为对角矩阵. 定义6.12（正交变换） y=(y1,y2,…,yn)T, x=(x1,x2,…,xn)T,如果Q为正交矩阵，则称线性变换y=Qx为正交变换. 设y=Qx是欧氏空间V的一个线性变换， 定理6.7 设y=Qx是正交变换，则y=Qx保持向量的内积不变， y=Qx保持向量的长度不变. 证明 设y=Qx，QTQ=E. 设y1=Qx1， y2=Qx2 于是， 正交变换保持向量内积不变. 得到 ，向量长度经正交变换不变. 特别地，令y1=y2，可有 对于二次型，我们讨论的主要问题是： 寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。 即二次型 经过可逆线性变换 使得 即经过可逆线性变换 可化为 定理6.8(主轴定理) 设n维实二次型f(x)=xTAx，其中AT=A， 存在正交变换x=Qy，将 f 化成标准形 是A的特征值。 设A是一个n阶实对称矩阵，则必存在一个n 阶 正交矩阵Q，使