第二章随机变量与随机过程.ppt

2.5.2 二维随机变量的概率密度 二个随机变量X和Y的联合分布概率密度函数的定义为 即 两变量联合分布概率密度函数的性质 根据二变量联合分布概率密度函数的定义，第一个随机变量X落在x1 与 x2 之间且Y落在y1 与 y2 之间的概率为 (1) (2) 2.6 随机过程 事物的变化过程没有确定的变化形式，没有必然的变化规律，不能用确定的函数加以描述，但具有一定的统计规律性，该变化过程称为随机过程。 随机过程的每一次实验结果称为这一过程的一个现实，称为一个样本函数或子样函数。如果进行n次实验，这n个可能的结果构成随机过程的样本空间。 不同实验驾驶员座椅处的加速度变化曲线 如任意确定时间t1, 每一条曲线在t1 处的函数值为x (t1)，则 x(t1)是一个随机变量，它的样本点： 该随机变量为对应于给定时间 t1的随机过程的截口或状态。 一个随机过程是由无穷多个随机变量构成的随机变量系。 故可以用描述随机变量系的办法描述随机过程。 象随机变量一样，引入描述随机过程的数字特征。 2.6.1 随机过程的数字特征 数学期望： 设X(t)是一随机过程，固定t1，则X (t1)是一随机变量。其数学期望： E[X(t)]是随机过程X(t)的所有样本函数在时刻t的函数值的平均，称这种平均为集平均（以区别于时间平均）。 与随机变量的均值E[X]不同， E[X(t)]是时间的函数。 方差 表示X(t)在时刻t随机变量对于均值的偏离程度，如果均值等于零。则： 相关函数 均值和方差是刻画随机过程在各个孤立时刻 统计特征的重要数字特征。但无法描述两个不同时刻状态之间的联系。 自相关函数用以描述随机过程本身在两个不同时刻状态之间的线性依从关系。 2.6.2 平稳随机过程 平稳随机过程的概率分布相对于任意一个时间移位都保持不变，即当前时刻的概率密度函数在其他时刻仍适用。所以概率密度函数p(x1)变成了一个统一的表达式p(x)，而与时间无关。 平稳随机过程的数学期望对任意时刻都可以写成 自相关函数也与绝对时间t无关，而是与时间移位τ有关 2.6.3 各态历经过程 随机过程的均值、方差、相关函数的计算需要用到大量的样本函数，十分复杂，甚至不现实。 由平稳随机过程的统计特征与时间的原点选取无关这一特征考虑，用随机过程的一个样本函数，当其记录时间足够长时，代替整个随机过程。 各态历经过程：若每个样本函数按“时间平均”的数字特征均相等，且等于任一“截口”处的“集合平均”，这样的平稳过程称为各态历经过程，简称遍历过程。 如果x(i)(t) 代表一个典型的样本函数，持续时间为T，那么可以沿时间积分取其平均。这样的平均称为瞬时平均，若将其记为x(t) ，则 式中约定x(i)(t) 定义在t=-T/2 到t=T/2区间上。 当T趋于无穷时，类似地有 判断一个过程是否具有各态历经性十分困难，常假定随机过程具有各态历经性，按这一假定进行数据处理，如不符和实际，再修改假设。 工程上大多数随机过程都具有各态历经性。 平顺性分析所讨论的过程，都认为是各态历经的，因而用的都是时间平均。 第二章随机变量与随机过程 第二章 随机变量与随机过程 2.1 随机变量及其分布列，分布函数 2.2 连续随机变量的概率密度函数 2.3 正态分布 2.4 随机变量的数字特征 2.5 两个随机变量的联合分布 2.6 随机过程 2.1 随机变量及其分布列，分布函数 随机变量 随机：情况多变或事先不能肯定 如：取许多钢试样进行试验，它们的拉伸强度不会是一样的，而是在某一个平均值附近波动。像钢的拉伸强度这样的量，它们的值并不能准确预测，称为随机变量。 如：在一批废品率为p的产品中，任取两件，所取两件中，废品数可能是0、1、2。在取出之前无法预测。取出的废品数称为随机变量 随机变量的分类 离散随机变量： 仅可能在某一数值序列中取得有限个或无限多个离散的数值。 例如：一批产品中的次品数； 随机振动在一定时间内取得的峰值 数等都只能是正整数。 连续随机变量: 可取某一区间内的任何数值的随机变量。 例如：机械零件加工后的尺寸， 钢试样的拉伸强度等。 离散随机变量的分布列 对于离散随机变量，由于其取值是离散的，所以可以将其取某一个值的概率列成一个表，称为随机分布列。 例如：在一批废品率为p的产品中，任取两件，所取两件中，废品数可能是0、1、2。 X的取值 X1 X2 X3 …… Xn 取值的概率 P1 P2 P3 …… Pn P3 P2 P1 取值的概率 2 1 0 X的取值 连续随机变量的分布函数 连