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第五章 正态分布、常用统计分布和极限定理 一、什么是正态分布 正态分布(Normal Distribution)服从一类确定的规律，又称为常态分布或高斯分布。 如统计了96人的初婚年龄 1.正态分布曲线是单峰，有一个最高点； 2.分布曲线有一个对称轴x=μ； 3.分布曲线以横轴为渐近线。 中位值、中值、均值三者重叠。 正态分布的概率密度表达式为： 1.曲线在x=μ处达到最高值，并且以x=μ对称。 参数μ和?代表的意义 正态曲线下每一小块面积就是随机变量 在该小块取值 所出现的概率，曲线下的整个面积由无数个小直方形拼成。 几个典型取值区间的概率值 二、标准正态分布 根据Z值所得到的分布就是标准正态分布，概率密度为 标准正态分布其实是一般正态分布的一个特例，记作N(0，1)，一般正态分布记作N(μ，σ2)。 一般正态分布之所以能变成唯一的标准正态分布，就是把原来坐标中的零点沿着X轴迁到μ点， 并且以σ为单位记分。 （一）正态分布与标准正态分布的特点对比 1.标准正态曲线在Z=0处达到最高点； 2.标准正态曲线以Z=0为中心，双侧对称； 3.标准正态曲线从最高点向左右缓慢下降，并无限延伸，但永不与基线相交； 4.平均数为0，标准差为1； 5.标准正态曲线从最高点向左右延伸时，正负1个标准差内向下向内弯，从正负1个标准差开始，向下向外弯。 （二）正态分布与标准正态分布面积之间的对应关系 （三）标准分的实际意义 例1：甲、乙、丙3个同学《社会统计学》分数都是80分，甲同学所在班平均成绩μ甲=80分， μ乙=75分， μ丙=70分，标准差都是10，比较甲、乙、丙3个同学在班上的成绩。 例2：设甲、乙、丙三个学生所在班级的平均成绩都为75分，σ甲=10分， σ乙=15分， σ丙=20分，比较甲、乙、丙三个学生在班上的成绩。 如果各科原始分数呈正态分布，可将各科原始分数转换成标准分，求其总和，再比较总分大小。 为了使标准分Z值变成形式上的原始分数，一般将Z值乘以10，加上50，就变成了T分数：T=10Z+50 三、标准正态分布表的使用 标准正态分布表是根据概率密度，用积分计算Z取不同值时正态分布曲线下的面积。 有的从Z=-∞开始，Z逐渐增加，表中所列是某个Z分数以下的累积概率； 有的从Z=0开始，Z逐渐变化，计算从Z=0到某一定值之间的概率，因为正态分布对称，且对称轴为μ=0，所以当Z0与Z0时相应的Z分数概率值相等。 任意两点[Z1，Z2]之间的面积就是 例4： 例6： 例8： 例9： 例10： 四、常用统计分布 样本具有两重性： 假设x1、x2…xn是从总体X中抽取的样本，在一次具体的观测或试验中，它们是一批测量值，是一些已知数，即样本具有数的属性。 在不同的观测中样本取值可能不同，因此当脱离开特定的具体试验或观测时，并不知道样本 x1、x2…xn的具体取值是多少，可以把它们看作随机变量，即样本具有随机变量的属性。 如果在相同条件下对总体X进行n次重复的独立观测，那么可以认为所获得的样本x1、x2…xn是独立的，并且服从相同分布的随机变量。 如：当我们把一个长度为μ的物体测量了n次，获得样本x1、x2…xn之后，要计算其算术平均数作为μ的估计，其平均数就是对样本进行处理后得到的一个统计量。样本均值、样本方差是几个主要的统计量。 三大分布：x2分布、t分布和F分布 （一）x2分布 X2分布表的编制与使用（附表6） t分布表的使用 （三）F分布 五、大数定理与中心极限定理 当观察次数n趋向于无穷大时所得出的一系列定理，统称为极限定理。极限定理又分为大数定理和中心极限定理。 大数定理一般讨论n个随机变量的平均值的稳定性；中心极限定理讨论在一般情况下，n个随机变量的和当n→∞时的极限分布是正态分布。 （一）贝努里大数定理 （二）切贝谢夫大数定理 （三）中心极限定理 （二）t分布（学生分布） 设随机变量ξ~N(0,1)，η~x2(k)，且ξ与η相互独立， 则随机变量 的分布称为自由度为k的t分布 或学生分布，并记作t(k)。 图5-13 0 图5-14 0 （1，10） （5，10） （10，10） （∞，10） F分布表是根据F分布函数计算得来的，附表7中 对于不同的自由度及不同的α（0α 1），给出 了满足式 的F值。 * * 18.5 20.5 22.5 24.5 26.5 28.5 30.5 32.5 x φ(x) 表5-1 图5-1 φ(x) 分布密度曲线的特征： 2.在μ不变的情